Contrôle d’une Equation Parabolique Non Linéaire avec Donnée Mesure

Rapport de stage de première année de Magistère Septembre 1996

Jérôme Droniou

0.1 Position du problème

0.1.1 Notations et hypothèses

Dans toute la suite, Ω désigne un ouvert borné de ℝ^{N} (N = 2 ou 3), dont la frontière Γ est une variété de classe C^{2,ν} (0 < ν ≤ 1). On prendra ]0, T [ comme intervalle de temps (T fini quelconque), et on notera Q = Ω×]0, T [, Σ = Γ×]0, T [. On désigne l’exposant conjugué de h ∈ [1, +∞] par h (donc h′ = \frac{h}{h−1}).

A est l’opérateur elliptique de second ordre :

Ay = − ∑_{i,j=1}^{N} D_{i}(a_{ij}D_{j}y)

où D_{i} est la dérivée au sens des distributions dans la direction i, les coefficients a_{ij} sont dans C^{1,ν}(\overline{Ω}), vérifient a_{ij} = a_{ji} ainsi que la condition d’ellipticité uniforme

∃α > 0 | Pour tout x ∈ \overline{Ω}, ∀ξ ∈ ℝ^{N}, ∑_{i,j=1}^{N} a_{ij}(x)ξ_{i}ξ_{j} ≥ α ∑_{i=1}^{N} ξ_{i}^{2}

0.1.2 Le problème

On va étudier le problème, suggéré dans [L],

\{ \begin{matrix}\frac{∂y}{∂t} + Ay + y^{3} = u(t)δ_{x_{0}} dans Q, \\ y = 0 ou \frac{∂y}{∂n_{A}} = 0 sur Σ, \\ y(0) = 0 dans Ω. \end{matrix}  (0.1)

où δ_{x_{0}} est la mesure de Dirac en x_{0} ∈ Ω, u ∈ L^{q}(0, T) (pour q assez grand, à préciser). On considèrera dans la suite la condition au bord de type Neumann homogène, mais la condition de Dirichlet homogène se traite tout aussi bien (il suffit de remplacer les espaces W^{1,d} par les espaces W_{0}^{1,d} et de prendre des fonctions tests s’annulant au bord).

On considèrera ce problème au sens faible, c’est à dire qu’une solution de (0.1) sera une fonction y (dans un espace fonctionnel adéquat) telle que, pour tout φ ∈ C^{1}(\overline{Q}) vérifiant φ(T) = 0 (et φ = 0 sur Σ en condition de Dirichlet), on a

y \frac{∂φ}{∂t} ∈ L^{1}(Q) , ∑_{i,j=1}^{N} a_{ij}D_{j}yD_{i}φ ∈ L^{1}(Q) , y^{3}φ ∈ L^{1}(Q),

et

− ∫_{Ω} ∫_{0}^{T} y(x, t)\frac{∂φ}{∂t}(x, t) dxdt + ∫_{Ω} ∫_{0}^{T} ∑_{i,j=1}^{N} a_{ij}D_{j}yD_{i}φ(x, t) dxdt+

∫_{Ω} ∫_{0}^{T} y(x, t)^{3}φ(x, t) dxdt = ∫_{0}^{T} u(t)φ(x_{0}, t) dt

Remarque: Notons que, comme pour σ assez grand on a W^{2,σ}(Ω) ↪ C^{1}(\overline{Ω}), si y ∈ L^{1}(0, T; W^{1,1}(Ω)), cette formulation implique qu’une solution faible de (0.1) vérifie \frac{dy}{dt} = uδ_{x_{0}} − Ay − y^{3}, où \frac{d}{dt} désigne la dérivée au sens des distributions vectorielles ]0, T [→ (W^{2,σ}(Ω))′ et A est dans ce cas l’opérateur défini par < Ay, φ >_{(W^{2,σ})′,W^{2,σ}}=

∫_{Ω} ∫_{0}^{T} ∑_{i,j=1}^{N} a_{ij}(x)D_{j}y(x, t)D_{i}φ(x, t) dxdt.

0.2 Les équations annexes

Elles vont nous permettre de trouver des estimations sur la solution du problème (0.1).

0.2.1 Première équation

On considère, pour w ∈ L^{r′}(Ω), l’équation

\{ \begin{matrix}−\frac{∂z}{∂t} + Az + az = 0 dans Q, \\ \frac{∂z}{∂n_{A}} = 0 sur Σ, \\ z(T) = w dans Ω. \end{matrix}  (0.2)

où a ∈ C^{1}(\overline{Q}) est une fonction positive. Si on prend w positive, alors par le principe de comparaison, on sait que la solution z de cette équation est positive. De plus, en notant ẑ la solution de

\{ \begin{matrix}−\frac{∂ẑ}{∂t} + Aẑ = 0 \\ \frac{∂ẑ}{∂n_{A}} = 0 \\ ẑ(T) = w \end{matrix}

z −ẑ est solution de −\frac{∂u}{∂t} +Au = −az ≤ 0, avec condition au bord de Neumann homogène et condition finale nulle. Donc, toujours par le principe de comparaison, 0 ≤ z ≤ ẑ. Or, par le lemme 3.1 de [RZ], comme ẑ est donné par le semi-groupe associé dans L^{r′}(Ω) à A (avec conditions au bord de type Neumann homogène), on a, pour tout ε > 0, l’existence d’une constante C_{ε} > 0 telle que ||ẑ(t)||_{L^{∞}(Ω)} ≤ C_{ε}(T − t)^{− \frac{N}{2r′} −ε}||w||_{L^{r′}(Ω)}. Ainsi, on obtient

||z(t)||_{L^{∞}(Ω)} ≤ C_{ε}(T − t)^{− \frac{N}{2r′} −ε}||w||_{L^{r′}(Ω)}.  (0.3)

Le même raisonnement pouvant être fait lorsque w ≤ 0, le résultat reste valable dans ce cas. Si on prend w ∈ L^{r′}(Ω) quelconque et si on note z_{1}, z_{2} les solutions respectives de (0.2) avec w^{+} = sup(w, 0) et w^{−} = sup(−w, 0) comme conditions initiales respectives, alors z = z_{1} − z_{2} (par linéarité de l’équation et unicité de la solution de (0.2)), et comme ||w||_{r′} = ||w^{+}||_{r′} + ||w^{−}||_{r′}, l’estimation (0.3) reste valable pour tout w ∈ L^{r′}(Ω) (avec C_{ε} indépendante de a).

0.2.2 Deuxième équation

On considère comme deuxième équation annexe :

\{ \begin{matrix}−\frac{∂m}{∂t} + Am = f − div ξ \\ \frac{∂m}{∂n_{A}} = 0 \\ m(T) = 0 \end{matrix}  (0.4)

où (f, ξ) ∈ D(Q) × D(Q, ℝ^{N}). On sait alors, cf [R1, théorème 2.1], qu’une solution m de cette équation vérifie, pour tous (δ, d, l) ∈]1, ∞[ tels que \frac{1}{2} − \frac{1}{δ} + \frac{1}{l′} > \frac{N}{2d}, l’estimation

||m||_{L^{l′}(0,T;L^{∞}(Ω))} ≤ C(||f||_{L^{δ}(0,T;L^{d}(Ω))} + ∑_{i=1}^{N} ||ξ_{i}||_{L^{δ}(0,T;L^{d}(Ω))})  (0.5)

0.3 Existence d’une solution à (0.1)

Le résultat que nous allons montrer ici est

Théorème 1 : Si N ≤ 3 et q > \frac{3}{4−N}, il existe une unique solution faible à (0.1) dans L^{1}(0, T; W^{1,1}(Ω)). Cette solution y vérifie de plus :

i) Pour tous r et r̃ vérifiant \frac{1}{q′} + \frac{1}{r̃} > \frac{N}{2r′}, y ∈ Lr̃(0, T; L^{r}(Ω)) et il existe M_{1} = M_{1}(r, r̃, q) indépendante de u telle que ||y||_{Lr̃(0,T;L^{r}(Ω))} ≤ M_{1}||u||_{q},

ii) Pour tous (d, δ, l) ∈]1, +∞[ vérifiant \frac{1}{2} − \frac{1}{δ} + \frac{1}{l′} > \frac{N}{2d} avec \frac{1}{q′} + \frac{1}{3l} > \frac{N}{3} , y ∈ L^{δ′}(0, T; W^{1,d′}(Ω)) et il existe M_{2} = M_{2}(δ, d, l, q) indépendante de u telle que ||y||_{L^{δ′}(0,T;W^{1,d′}(Ω))} ≤ M_{2}(||u||_{q}^{3} + ||u||_{q}).

Remarque : La condition portant sur q est utile pour être sûr qu’il existe r = r̃ > 3 valables dans i); ce point est essentiel pour le passage à la limite dans l’étape 4 de la démonstration. Cette condition assure aussi qu’il existe des (d, δ, l) acceptables dans ii).

Démonstration : Soit (u_{n})_{n∈ℕ} ∈ D(0, T)^{ℕ} telle que, pour tout ν vérifiant u ∈ L^{ν}(0, T), on ait ||u_{n}||_{ν} ≤ ||u||_{ν} et u_{n} → u dans L^{ν}. On prend aussi (v_{n})_{n∈ℕ} ∈ D(Ω)^{ℕ} une approximation de l’unité centrée en x_{0} (qui approche donc la masse de Dirac en x_{0} pour la topologie vague de M(\overline{Ω})). La suite de D(Q) de terme général h_{n}(x, t) = v_{n}(x)u_{n}(t) approche le second membre u(t)δ_{x_{0}} de (0.1) pour la topologie vague de M(\overline{Q}).

Prenons y_{n} ∈ C^{2}(\overline{Q}) la solution de

\{ \begin{matrix}\frac{∂y_{n}}{∂t} + Ay_{n} + y_{n}^{3} = h_{n} \\ \frac{∂y_{n}}{∂n_{A}} = 0 \\ y_{n}(0) = 0 \end{matrix}  (0.6)

Nous allons trouver des estimations sur y_{n} (celles énoncées dans le théorème) et passer à la limite n → +∞.

\underline{Etape 1} : Estimation Lr̃(0, T; L^{r}(Ω)). Prenant a = y_{n}^{2} ≥ 0, on multiplie l’équation (0.6) par la solution z de (0.2) avec ce choix de a et un w ∈ D(Ω), et après intégrations par parties (les fonctions y_{n} et z sont régulières, car w et h_{n} ont été choisies régulières), on obtient

∫_{Ω} y_{n}(T)w dx + ∫_{Ω} ∫_{0}^{T} y_{n} (−\frac{∂z}{∂t} + Az + az) dxdt = ∫_{Ω} ∫_{0}^{T} h_{n}z dxdt

soit, en utilisant l’estimation (0.3) sur z (indépendante de a, donc de n),

|∫_{Ω} y_{n}(T)w dx| ≤ C_{ε} ∫_{Ω} ∫_{0}^{T} ||w||_{r′}(T − τ)^{− \frac{N}{2r′} −ε}|u_{n}(τ)||v_{n}(x)| dxdτ

puis, grâce au fait que ||v_{n}||_{1} = 1, et ||y_{n}(T)||_{L^{r}(Ω)} = sup{| ∫_{Ω} y_{n}(T)w dx| , w ∈ D(Ω) , ||w||_{r′} = 1}, on a (puisque T n’a aucun rôle particulier, la majoration est valable pour n’importe quel t ∈ [0, T])

||y_{n}(t)||_{L^{r}(Ω)} ≤ C_{ε} ∫_{0}^{t} |u_{n}(τ)|(t − τ)^{− \frac{N}{2r′} −ε} dτ = α ∗ β(t)  (0.7)

où α(t) = C_{ε}|u_{n}(t)|χ_{[0,T]} (χ_{S} fonction caractéristique de S) et β(t) = t^{− \frac{N}{2r′} −ε}χ_{[0,T]}. On sait déjà que α ∈ L^{q}(ℝ), donc α ∗ β ∈ Lr̃(ℝ) dès que β ∈ L^{p}(ℝ) avec \frac{1}{q} + \frac{1}{p} − \frac{1}{r̃} = 1. Si \frac{1}{r̃} + \frac{1}{q′} > \frac{N}{2r′}, alors p définit par \frac{1}{p} = 1 + \frac{1}{r̃} − \frac{1}{q} est fini et il existe ε = ε(r, r̃, q) > 0 tel que

\frac{1}{p} > \frac{N}{2r′} + ε : ce choix de ε implique β(t) = t^{− \frac{N}{2r′} −ε}χ_{[0,T]} ∈ L^{p}(ℝ).

On aura alors ||y_{n}||_{Lr̃(0,T;L^{r}(Ω))} ≤ ||α ∗ β||r̃ ≤ C(r, r̃, q)||u_{n}||_{q} ≤ C(r, r̃, q)||u||_{q} : (y_{n})_{n∈ℕ} est bien bornée dans Lr̃(0, T; L^{r}(Ω)), pour tous r et r̃ comme dans l’énoncé du théorème.

\underline{Etape 2} : Estimations L^{δ′}(0, T; W^{1,d′}(Ω)). Soit m solution de (0.4). Comme m est régulière, en multipliant cette équation (0.4) par y_{n} et en intégrant par parties, on obtient

∫_{Ω} ∫_{0}^{T} m (\frac{∂y_{n}}{∂t} + Ay_{n}) dxdt = ∫_{Ω} ∫_{0}^{T} fy_{n} + ∑_{i=1}^{N} ξ_{i}D_{i}y_{n} dxdt

soit

|∫_{Ω} ∫_{0}^{T} fy_{n} + ∑_{i=1}^{N} ξ_{i}D_{i}y_{n} dxdt| ≤ ∫_{Ω} ∫_{0}^{T} |m||h_{n} − y_{n}^{3}| dxdt

On a de plus

∫_{Ω} ∫_{0}^{T} |m||h_{n}| dxdt ≤ ||m||_{L^{l′}(0,T;L^{∞}(Ω))}||u_{n}||_{l}

≤ C(||f||_{L^{δ}(0,T;L^{d}(Ω))} + ∑_{i=1}^{N} ||ξ_{i}||_{L^{δ}(0,T;L^{d}(Ω))})||u||_{q}

(estimation (0.5) et l ≤ q), et

∫_{Ω} ∫_{0}^{T} |m||y_{n}^{3}| dxdt ≤ ||m||_{L^{l′}(0,T;L^{∞}(Ω))} (∫_{0}^{T} (∫_{Ω} |y_{n}|^{3} dx)^{l})^{1/l}

Or, pour tout l vérifiant \frac{1}{q′} + \frac{1}{3l} > \frac{N}{3} , par l’étape 1, (y_{n})_{n∈ℕ} est bornée dans L^{3l}(0, T; L^{3}(Ω)) par C(l, q)||u||_{q}. On a donc l’existence de M = M(δ, d, l, q) indépendant de n et u tel que

|∫_{Ω} ∫_{0}^{T} fy_{n} + ∑_{i=1}^{N} ξ_{i}D_{i}y_{n} dxdt| ≤ M(||u||_{q}^{3} + ||u||_{q})(||f||_{L^{δ}(0,T;L^{d}(Ω))} + ∑_{i=1}^{N} ||ξ_{i}||_{L^{δ}(0,T;L^{d}(Ω))})

dès que \frac{1}{2} − \frac{1}{δ} + \frac{1}{l′} > \frac{N}{2d} et l < \frac{q′}{q′N−3}. Comme ||y_{n}||_{L^{δ′}(0,T;W^{1,d′}(Ω)} = sup\{| ∫_{Ω} ∫_{0}^{T} fy_{n} + ∑_{i=1}^{N} ξ_{i}D_{i}y_{n} dxdt| , (f, ξ) ∈ D(Q) × D(Q, ℝ^{N}) , ||f||_{L^{δ}(0,T;L^{d}(Ω))} + ∑_{i=1}^{N} ||ξ_{i}||_{L^{δ}(0,T;L^{d}(Ω))} = 1}, on en déduit que (y_{n})_{n∈ℕ} est bornée par M(||u||_{q}^{3} + ||u||_{q}) dans L^{δ′}(0, T; W^{1,d′}(Ω)).

\underline{Etape 3} : Estimation sur \frac{dy_{n}}{dt}. Si \frac{d}{dt} désigne la dérivée au sens des distributions vectorielles sur ]0, T [ à valeur dans (W^{2,σ}(Ω))′ (pour un σ assez grand, comme dans la remarque concernant la fomulation faible du problème), on a \frac{dy_{n}}{dt} = h_{n} − Ay_{n} − y_{n}^{3}.

Comme W^{2,σ}(Ω) ↪ C(\overline{Ω}) (avec densité), on a M(\overline{Ω}) ↪ (W^{2,σ}(Ω))′. Or (h_{n})_{n∈ℕ} est bornée dans L^{q}(0, T; M(\overline{Ω})), donc (h_{n})_{n∈ℕ} est bornée dans L^{q}(0, T; (W^{2,σ}(Ω))′).

(y_{n})_{n∈ℕ} est bornée dans L^{δ′}(0, T; W^{1,d′}(Ω)), donc (Ay_{n})_{n∈ℕ} est bornée dans (L^{δ}(0, T; W^{2,σ}))′ = L^{δ′}(0, T; (W^{2,σ}(Ω))′) dès que σ ≥ d (car W^{2,σ} ↪ W^{1,d}).

(y_{n}^{3})_{n∈ℕ} est bornée dans L^{k}(0, T; L^{k}(Ω)), pour un k > 1, donc comme L^{k}(Ω) ↪ M(\overline{Ω}) ↪ (W^{2,σ}(Ω))′, (y_{n}^{3})_{n∈ℕ} est bornée dans L^{k}(0, T; (W^{2,σ}(Ω))′).

On a donc l’existence de σ ∈]1, +∞[ et de ν > 1 tel que (\frac{dy_{n}}{dt} )_{n∈ℕ} soit bornée dans L^{ν}(0, T; (W^{2,σ}(Ω))′).

\underline{Etape 4} : Passages à la limite. Des estimations obtenues dans les étapes 1 et 2, on déduit que l’on peut extraire de (y_{n})_{n∈ℕ} une suite (toujours notée (y_{n})_{n∈ℕ}), qui converge faiblement vers une limite y dans les espaces : L^{δ′}(0, T; W^{1,d′}(Ω)) et L^{r}(Q), dès que (d, δ, r) vérifient les hypothèses du théorème.

En fait, la suite extraite ainsi que la limite dépendrait de l’espace considéré, mais on peut se ramener à extraire une unique suite convergeant dans tous les espaces considérés par un procédé diagonal (la convergence dans une espace plus petit impliquant la convergence dans un espace plus grand, on peut se limiter à un nombre dénombrable d’espaces), et comme la convergence dans chacun de ces espaces implique la convergence faible dans L^{1}(Q) (ces espaces s’injectent dans L^{1}(Q)), la limite est la même pour tous ces espaces.

De plus, par le lemme d’Aubin (cf annexe) et les étapes 2 et 3, (y_{n})_{n∈ℕ} est relativement compacte dans L^{1}(Q), donc à une sous-suite près elle converge presque partout vers y. Etant bornée dans L^{r}(Q) dès que r < \frac{q′(N+2)}{Nq′−2} (cas r = r̃ dans l’étape 1), (y_{n})_{n∈ℕ} converge fortement vers y dans L^{r}(Q) dès que r vérifie cette inégalité (théorème de compacité L^{p} − L^{q}, cf annexe 2). En particulier, r > 3 étant admissible d’après l’hypothèse sur q, (y_{n}^{3})_{n∈ℕ} converge fortement dans L^{1}(Q) (et même mieux) vers y^{3}.

Il suffit ensuite de passer à limite dans l’expression : (valable pour toute fonction test φ ∈ C^{1}(\overline{Ω}) telle que φ(T) = 0)

∫_{Ω} ∫_{0}^{T} (−y_{n} \frac{∂φ}{∂t} + ∑_{i,j=1}^{N} a_{ij}D_{j}y_{n}D_{i}φ + y_{n}^{3}φ) dxdt = ∫_{Ω} ∫_{0}^{T} h_{n}φ dxdt.

En effet :

• ∫_{Ω} ∫_{0}^{T} y_{n} \frac{∂φ}{∂t} dxdt → ∫_{Ω} ∫_{0}^{T} y \frac{∂φ}{∂t} dxdt car (y_{n})_{n∈ℕ} converge dans L^{1}(Q) vers y.

• ∫_{Ω} ∫_{0}^{T} D_{j}y_{n}D_{i}φ dxdt → ∫_{Ω} ∫_{0}^{T} D_{j}yD_{i}φ dxdt par convergence faible de (y_{n})_{n∈ℕ}

vers y dans L^{δ′}(0, T; W^{1,d′}(Ω)).

• ∫_{Ω} ∫_{0}^{T} y_{n}^{3}φ dxdt → ∫_{Ω} ∫_{0}^{T} y^{3}φ dxdt, par convergence forte dans L^{1}(Q) de (y_{n}^{3})_{n∈ℕ}

vers y^{3}.

• ∫_{Ω} ∫_{0}^{T} h_{n}φ dxdt → ∫_{0}^{T} u(t)φ(x_{0}, t) dt par définition de h_{n}.

La limite y est donc solution de (0.1) et vérifie les mêmes estimations que celles obtenues pour la suite (y_{n})_{n∈ℕ} dans les etapes 1 et 2, c’est à dire celles énoncées dans le théorème.

\underline{Etape 5} : Unicité. Elle se fait comme dans [BF].

0.4 Régularité de la solution de (0.1)

Plus loin, nous considérons une observation en temps final; il faut donc donner un sens à y(T) et surtout obtenir certaines régularités sur y(T). C’est principalement à ceci que sert le lemme suivant.

Lemme 1 : Si y est solution de

\frac{∂y}{∂t} + Ay = f dans Q,

\frac{∂y}{∂n_{A}} = 0 sur Σ,

y(0) = 0 dans Ω

avec f ∈ L^{l}(0, T; M(\overline{Ω})), alors y ∈ C_{w}([0, T]; L^{s′}(Ω)), pour tout s > \frac{Nl′}{2} .

Démonstration : On peut montrer, grâce au théorème 2 de [B], que la solution y de (0.1) appartient à C([0, T]; L^{1}(Ω)); on peut donc parler sans ambiguité de y(t), pour tout t ∈ [0, T].

Soit, pour t ∈ [0, T], z_{t} ∈ C(\overline{Q}) la solution de

(Λ)_{w}^{t} \{−\frac{∂z_{t}}{∂t} + Az_{t} = 0 dans Q, \frac{∂z_{t}}{∂n_{A}} = 0 sur Σ, z_{t}(t) = w ∈ D(Ω).

On sait, par le lemme (3.1) de [RZ], que, pour tout ε > 0, il existe M_{ε} < ∞ tel que ||z_{t}(τ)||_{L^{∞}(Ω)} ≤ M_{ε}(t − τ)^{− \frac{N}{2s} −ε}||w||_{s}; de plus, comme z_{t} est régulier, la formule de Green [R2, théorème 4.9, formule (4.13)], valable puisque y est solution d’une équation de type [R2, équation (4.6)], donne, pour tout t,

∫_{Ω} y(t)w dx = ∫_{0}^{t} < f(τ), z_{t}(τ) >_{M(\overline{Ω}),C(\overline{Ω})} dτ  (0.8)

On en déduit que y ∈ L^{∞}(0, T; L^{s′}(Ω)) : en effet,

||y(t)||_{s′} = sup {∫_{Ω} y(t)w dx , w ∈ D(Ω) , ||w||_{s} = 1}
≤ M_{ε} ∫_{0}^{t} ||f(τ)||_{M}(t − τ)^{− \frac{N}{2s} −ε} dτ
≤ M_{ε}||f||_{L^{l}(0,T;M)} (∫_{0}^{t}(t − τ)^{− \frac{Nl′}{2s} −εl′} dτ)^{1/l′}

≤ M_{ε}||f||_{L^{l}(0,T;M)} (∫_{0}^{T} τ̃^{− \frac{Nl′}{2s} −εl′} dτ̃)^{1/l′} .  (0.9)

(par l’hypothèse s > \frac{Nl′}{2} , la fonction τ̃ → τ̃^{− \frac{N}{2s} −ε} est dans L^{l′}(0, T) pour un ε > 0).

Pour montrer la continuité faible de y, on peut donc se restreindre à montrer que ∫_{Ω} y(t)w dx → ∫_{Ω} y(t_{0})w dx pour tout w ∈ D(Ω) (car y ∈ L^{∞}(0, T; L^{s′})) lorsque t < t_{0} , t → t_{0} (le cas t > t_{0} se traite pareillement). Soit t < t_{0}; (0.8) implique

∫_{Ω} y(t)w dx − ∫_{Ω} y(t_{0})w dx = ∫_{0}^{t} < f(τ), z_{t}(τ) − z_{t_{0}}(τ) > dτ + ∫_{t}^{t_{0}} < f(τ), z_{t_{0}}(τ) > dτ

De plus, par l’estimation que l’on a sur z_{t_{0}}, on peut écrire | ∫_{t}^{t_{0}} < f(τ), z_{t_{0}}(τ) > dτ| ≤ M_{ε}||w||_{s} ∫_{t}^{t_{0}} ||f(τ)||_{M}(t_{0} − τ)^{− \frac{N}{2s} −ε} dτ; par l’hypothèse sur s, il existe ε > 0 tel que la fonction τ → ||f(τ)||_{M}(t_{0}−τ)^{− \frac{N}{2s} −ε} soit dans L^{1}(0, t_{0}) donc ∫_{t}^{t_{0}} ||f(τ)||_{M}(t_{0}−τ)^{− \frac{N}{2s} −ε} dτ → 0 lorsque t → t_{0}. On sait de plus que z_{t} − z_{t_{0}} est solution de (Λ)_{w−z_{t_{0}}(t)}^{t}, donc ||z_{t}(τ) −

z_{t_{0}}(τ)||_{L^{∞}(Ω)} ≤ M_{ε}(t − τ)^{− \frac{N}{2s} −ε}||w − z_{t_{0}}(t)||_{s}, et | ∫_{0}^{t} < f(τ), z_{t}(τ) − z_{t_{0}}(τ) > dτ| ≤ M_{ε}||w − z_{t_{0}}(t)||_{s} ∫_{0}^{t} ||f(τ)||_{M}(t − τ)^{− \frac{N}{2s} −ε} dτ; de plus, si on note R le semi-groupe continu engendré par A (avec condition au bord de type Neumann homogène) dans L^{s}(Ω), on a z_{t_{0}}(t) = R(t_{0} − t)w → w dans L^{s}(Ω) lorsque t → t_{0}. Le résultat est donc prouvé : y ∈ C_{w}([0, T]; L^{s′}(Ω)).

Nous prendrons, à partir de maintenant, le cas N = 3 et q = ∞, ceci par souci de simplification.

Dans ce cas, la solution y de (0.1) est donc dans Lr̃(0, T; L^{r}(Ω)), pour tous r et r̃ tels que 1 + \frac{1}{r̃} > \frac{3}{2r′} (théorème 1); si l’on prend en plus r = r̃, alors on obtient y ∈ L^{r}(Q) pour tout r < 5. y est donc solution de \frac{∂y}{∂t} + Ay = uδ_{x_{0}} − y^{3}, où u ∈ L^{∞}(0, T) et y^{3} ∈ L^{l}(0, T; L^{1}(Ω)) ⊂ L^{l}(0, T; M(\overline{Ω})) pour tout l vérifiant 1 + \frac{1}{3l} > 1, c’est à dire pour tout l fini. Le lemme précédent nous donne donc que y ∈ C_{w}([0, T]; L^{s′}(Ω)), pour tout s > \frac{3}{2}.

0.5 Equation Adjointe

Soit, pour p_{0} ∈ L^{s}(Ω) (s à préciser) et a une fonction positive, a ∈ L^{r}(Q) pour tout r < \frac{5}{2}, l’équation

\{ \begin{matrix}−\frac{∂p}{∂t} + Ap + ap = 0 dans Q, \\ \frac{∂p}{∂n_{A}} = 0 sur Σ, \\ p(T) = p_{0} dans Ω. \end{matrix}  (0.10)

Elle sera, avec p_{0} = s′|y(T)−y_{d}|^{s′−1}(y(T)−y_{d}) (y_{d} ∈ L^{s′}(Ω)) et a = 3y^{2}, l’équation adjointe dans le problème de contrôle optimal de (0.1), celle dont la solution nous permettra d’étudier un contrôle optimal. Nous avons donc besoin de résultats sur cette solution.

0.5.1 Régularité

Théorème 2 : Pour tout l′ < \frac{2s}{3}, la solution p de (0.10) appartient à L^{l′}(0, T; C(\overline{Ω})) et il existe h < \frac{5}{2}, C(l′, h) tels que ||p||_{L^{l′}(0,T;C(\overline{Ω}))} ≤ C(1 + ||a||_{h})||p_{0}||_{s}.

Démonstration :

\underline{Etape 1} : l’équation avec a ≡ 0. Introduisons p̂ la solution de −\frac{∂p̂}{∂t} + Ap̂ = 0 , \frac{∂p̂}{∂n_{A}} = 0 , p̂(0) = p_{0}. On sait alors (lemme 3.1 de [RZ]) que ||p̂(t)||_{L^{∞}(Ω)} ≤ M_{ε}(T − t)^{− \frac{3}{2s} −ε}||p_{0}||_{s}; on en déduit que, pour tout k < \frac{2s}{3}, p̂ ∈ L^{k}(0, T; L^{∞}(Ω)) et que ||p̂||_{L^{k}(0,T;L^{∞}(Ω))} ≤ M(k)||p_{0}||_{s}. On prouve alors aisément que p̂ ∈ L^{k}(0, T; C(\overline{Ω})).

On prend p_{0n} ∈ D qui converge dans L^{s} vers p_{0}, on note p_{n} la solution correspondant à p_{0n}; on a alors, grâce à cette majoration et aux équations vérifiées par p − p_{n} et par p_{n} − p_{m}, que p_{n} converge vers p dans L^{k}(0, T; L^{∞}) et que p_{n} est une suite de Cauchy dans L^{k}(0, T; C).

\underline{Etape 2} : a est régulier. p − p̂ vérifie l’équation

−\frac{∂w}{∂t} + Aw + aw = f, \frac{∂w}{∂n_{A}} = 0, w(0) = 0,  (0.11)

avec f = −ap̂.

Si a est régulier, le principe de comparaison déjà utilisé pour traiter l’équation (0.2), permet d’obtenir sur la solution w de (0.11) le même type d’estimation que celle de [théorème 2.1 dans R1], c’est à dire avec a ≡ 0 : on a donc ||w||_{L^{l′_{0}}(0,T;L^{∞}(Ω))} ≤ C||f||_{δ,d} (||.||_{δ,d} désigne la norme de l’espace L^{δ}(0, T; L^{d}(Ω))), dès que 1 − \frac{1}{δ} + \frac{1}{l′_{0}} > \frac{3}{2d}. Dans le cas qui nous intéresse, f = −ap̂, donc si on prend l′_{0} < \frac{2s}{3}, on pourra trouver k < \frac{2s}{3} et d < \frac{5}{2} tels que 1 − \frac{1}{k} + \frac{1}{l′_{0}} > \frac{5}{2d} et l’on pourra écrire, en prenant \frac{1}{δ} = \frac{1}{d} + \frac{1}{k}, ||f||_{δ,d} ≤ ||a||_{d,d}||p̂||_{k,∞} ≤ M(k)||a||_{d,d}||p_{0}||_{L^{s}(Ω)}. Avec ce choix de δ, on a bien 1 − \frac{1}{δ} + \frac{1}{l′_{0}} > \frac{3}{2d}, donc la majoration ||w||_{l′_{0},∞} ≤ CM(k)||a||_{d}||p_{0}||_{s} est vérifiée.

\underline{Etape 3} : a n’est plus régulier. On choisi alors a_{n} ∈ D(Q) qui approche a dans tous les L^{h}(Ω), pour h < \frac{5}{2}. Notons w_{n} la solution de −\frac{∂w_{n}}{∂t} + Aw_{n} + a_{n}w_{n} = f. Par l’estimation de l’étape 2 et de la même manière que l’on prouve p̂ ∈ L^{k}(0, T; C(\overline{Ω})), on montre que w_{n} ∈ L^{l′}(0, T; C(\overline{Ω})), dès que \frac{1}{l′} > \frac{3}{2s}.

On approche f par f_{m} dans L^{δ}(0, T; L^{d}) et on utilise l’estimation déjà obtenue pour montrer que la suite des solutions correspondant à f_{m} est de Cauchy dans L^{l′}(0, T; C(\overline{Ω})).

L’équation −\frac{∂(w_{n}−w_{m})}{∂t} + A(w_{n} − w_{m}) + a_{n}(w_{n} − w_{m}) = (a_{m} − a_{n})w_{m} nous permet d’écrire, grâce à la majoration obtenue dans le cas a régulier, que ||w_{n} − w_{m}||_{L^{l′}(0,T;C(\overline{Ω}))} ≤ M||(a_{n} − a_{m})w_{m}||_{δ̃,d̃} ≤ M||a_{n} − a_{m}||_{d̃,d̃}||w_{m}||_{l′_{0},∞} ≤ M′||a_{n} − a_{m}||d̃||a_{m}||_{d}||p_{0}||_{s}, avec d et d̃ inférieurs à \frac{5}{2} (donc (a_{m})_{m∈ℕ} bornée dans L^{d}(Q)), pourvu que (δ̃, d̃) vérifie : \frac{1}{l′} > \frac{3}{2d̃}−1+ \frac{1}{δ̃}, \frac{1}{δ̃} = \frac{1}{d̃} + \frac{1}{l′_{0}} et que l’on ait \frac{1}{l′_{0}} > \frac{3}{2s} (cf étape 2). Ceci sera réalisable si \frac{1}{l′} > \frac{5}{2d̃} − 1 + \frac{1}{l′_{0}} , soit,

compte tenu des conditions sur d̃ et l′_{0}, \frac{1}{l′} > \frac{3}{2s}. Ainsi, dans le cas l′ < \frac{2s}{3}, (w_{n})_{n∈ℕ} est de Cauchy dans L^{l′}(0, T; C(\overline{Ω})) et converge donc dans cet espace vers une certaine limite v. Or il n’est pas difficile de voir que (w_{n})_{n∈ℕ} (ou, du moins, une sous-suite) converge dans L^{1}(Q) faible vers w solution de (0.11).

(w_{n}) est bornée dans L^{2}(0, T; H^{1}) et converge donc faiblement dans cet espace vers la solution w.

Comme la convergence dans L^{l′}(0, T; C(\overline{Ω})) implique la convergence faible L^{1}(Q), on en déduit que w = v ∈ L^{l′}(0, T; C(\overline{Ω})) et que w vérifie ||w||_{L^{l′}(0,T;C(\overline{Ω}))} ≤ C||f||_{δ,d} ≤ M||a||_{d}||p_{0}||_{s} pour un h < \frac{5}{2} et M(l′, h) fini, dès que l’on a 1 − \frac{1}{δ} + \frac{1}{l′} > \frac{3}{2d}, \frac{1}{δ} = \frac{1}{d} + \frac{1}{k} avec k < \frac{2s}{3} et d < \frac{5}{2} (majoration obtenue à partir du cas a = a_{n} régulier et en passant à la limite dans L^{l′}(0, T; C(\overline{Ω}))).

En rassemblant ce résultat, celui de l’étape 1, et en se souvenant que w = p − p̂, on a bien le résultat énoncé dans le théorème 2.

0.5.2 Formule de Green

Toujours dans le but d’étudier un contrôle optimal, nous avons besoin d’une formule de Green — formule qui justifiera l’introduction de l’état adjoint p; avant de la démontrer, nous donnons un petit lemme technique dont une démonstration peut être trouvée en annexe.

Lemme 2 : Si α ∈ L^{∞}(0, T), (a_{n})_{n∈ℕ} est une suite de fonctions positives qui converge vers a dans tous les L^{r}(Q) pour r < \frac{5}{2}, z_{n} est la solution de

\{ \begin{matrix}\frac{∂z_{n}}{∂t} + Az_{n} + a_{n}z_{n} = αδ_{x_{0}} dans Q, \\ \frac{∂z_{n}}{∂n_{A}} = 0 sur Σ, \\ z_{n}(0) = 0 dans Ω. \end{matrix}  (0.12)

et z est la solution de ce problème correspondant à a_{n} = a, alors z_{n}(T) → z(T) dans L^{s′}(Ω) pour tout s > \frac{15}{4}.

Remarque : On peut montrer, de la même manière qu’à l’étape 1 du théorème 1, que z_{n} et z sont dans L^{r}(Q), pour tout r < 5, et que leurs normes dans ces espaces sont bornées indépendamment de a_{n} ou a (rappelons que nous sommes dans le cas N = 3, q′ = 1).

Pratiquement, on reprend la démonstration du théorème 1, en régularisant la mesure du second membre et les termes a_{n} ou a, on prouve l’intégrabilité de z_{n}^{m}, ce qui nous donne une intégrabilité sur a_{n}^{m}z_{n}^{m} meilleure que L^{1} et permet de majorer ∫_{0}^{T} (∫_{Ω} |a_{n}^{m}z_{n}^{m}|)^{l} dans l’étape 2 pour un l > 1, donc de passer à la limite lorsque le second terme régularisé tend vers la mesure et lorsque a_{n}^{m} → a_{n}.

On sait donc que a_{n}z_{n} et az appartiennent à L^{l}(Q), pour tout l < \frac{5}{3}, donc, par le lemme 1, z_{n}(T) et z(T) ont un sens dans L^{s′}(Ω), pour tout s > \frac{15}{4}.

La formule de Green que nous allons montrer est : pour s > \frac{15}{4}, si p est la solution de (0.10) et z est la solution de \frac{∂z}{∂t} +Az +az = αδ_{x_{0}} , \frac{∂z}{∂n_{A}} = 0 , z(0) = 0 (avec α ∈ L^{∞}(0, T)) alors

∫_{0}^{T} p(x_{0}, t)α(t) dt = ∫_{Ω} p_{0}(x) z(x, T) dt  (0.13)

Notons tout de suite que ces termes ont un sens : p ∈ L^{1}(0, T; C(\overline{Ω})) (et même mieux) et z ∈ C_{w}([0, T]; L^{s′}(Ω)).

Pour montrer cette formule, nous passons à la limite dans une formule vérifiée par des fonctions solutions d’équations régularisées. Soit donc p_{n} solution de

\frac{∂p_{n}}{∂t} + Ap_{n} + a_{n}p_{n} = 0 dans Q,

\frac{∂p_{n}}{∂n_{A}} = 0 sur Σ,

p_{n}(0) = p_{0n} dans Ω.

avec, bien sûr, p_{0n} et a_{n} régulières qui approchent respectivement p_{0} et a; soit aussi z_{n} solution de

\frac{∂z_{n}}{∂t} + Az_{n} + a_{n}z_{n} = αδ_{x_{0}} dans Q,

\frac{∂z_{n}}{∂n_{A}} = 0 sur Σ,

z_{n}(0) = 0 dans Ω.

Par la formule de Green [R2, théorème 4.9, formule (4.13)], appliquée entre p_{n} et z_{n} (p_{n} est solution classique et a_{n} est régulier), on a

∫_{0}^{T} p_{n}(x_{0}, t)α(t) dt = ∫_{Ω} p_{0n}(x)z_{n}(x, T) dx  (0.14)

On peut, grâce au lemme 2, d’ores et déjà passer à la limite dans le second membre pour trouver le terme que nous souhaitons y voir. Il reste à traiter le premier membre : nous allons chercher à montrer que, pour 1 ≤ l′ < \frac{4s}{15}, p_{n} → p dans L^{l′}(0, T; C(\overline{Ω})), ce qui suffit à montrer la formule de Green (0.13).

Pour cela, nous remarquons que p_{n} − p satisfait

\{ \begin{matrix}−\frac{∂w_{n}}{∂t} + Aw_{n} + a_{n}w_{n} = (a − a_{n})p dans Q, \\ \frac{∂w_{n}}{∂n_{A}} = 0 sur Σ, \\ w_{n}(T) = p_{0n} − p_{0} dans Ω. \end{matrix}  (0.15)

Par linéarité, on peut se restreindre à traiter la solution de (0.15) dans les cas second membre nul et condition finale nulle.

Supposons donc le second membre nul; w_{n} est alors solution d’une équation du type −\frac{∂w_{n}}{∂t} + Aw_{n} + a_{n}w_{n} = 0 , w_{n}(T) = p_{0n} − p_{0}. Cette équation étant du type (0.10), on a l’estimation (cf théorème 2) ||w_{n}||_{L^{l′}(0,T;C(\overline{Ω}))} ≤ M||p_{0n} − p_{0}||_{s}, dès que l′ < \frac{2s}{3} ((a_{n})_{n∈ℕ} étant bornée dans L^{d}(Q) si d < \frac{5}{2}).

Si, maintenant, la condition finale est nulle, alors w_{n} est solution de −\frac{∂w_{n}}{∂t} + Aw_{n} + a_{n}w_{n} = (a − a_{n})p , u(T) = 0. Or, par le travail qui a été fait dans l’étape 2 de la démonstration du théorème 2, on a l’estimation ||w_{n}||_{L^{l′}(0,T;C(\overline{Ω}))} ≤ M||(a − a_{n})p||_{L^{r}(Q)} dès que \frac{1}{l′} > \frac{5}{2r} − 1 (ici, avec les notations de l’étape 2 dans la démonstration 2, on a δ = d = r). De plus, par le théorème 2, pour tout g < \frac{2s}{3}, p ∈ L^{g}(Q) et en écrivant \frac{1}{r} = \frac{1}{h} + \frac{1}{g}, on peut majorer ||(a − a_{n})p||_{r} par ||a − a_{n}||_{h}||p||_{g}; il suffit donc, pour conclure, de voir si l’on peut prendre g < \frac{2s}{3} et h < \frac{5}{2}, ce qui revient à prendre \frac{1}{r} > \frac{2}{5} + \frac{3}{2s}, soit \frac{1}{l′} > \frac{5}{2} × \frac{3}{2s} = \frac{15}{4s}; c’est exactement l’hypothèse que l’on a faite, et l’on peut conclure finalement que

||p_{n} − p||_{L^{l′}(0,T;C(\overline{Ω}))} ≤ M(||p_{0n} − p_{0}||_{s} + ||a − a_{n}||_{h})

avec h < \frac{5}{2}, dès que 1 ≤ l′ < \frac{4s}{15}. On a donc bien, par passage à la limite dans (0.14), la formule (0.13) (comme α ∈ L^{∞}, il suffit de prendre l′ = 1 ci-dessus pour passer à la limite).

0.6 Contrôle optimal

Nous prenons, à partir de maintenant, s > \frac{15}{4}, de sorte que s vérifie les hypothèses du lemme 1, et de la formule de Green (0.13).

Le fonctionnelle à minimiser sera alors

J(u) = ∫_{Ω} |y_{u}(T) − y_{d}|^{s′} dx + N ∫_{0}^{T} |u|^{2} dt = J_{1}(y_{u}) + J_{2}(u)

où N ∈ ℝ^{+} et y_{u} désigne la solution de (0.1) avec uδ_{x_{0}} en second membre. y_{d} a été choisie dans L^{s′}(Ω); par le lemme 1, y_{u}(T) a un sens.

Un contrôle optimal sera une fonction u ∈ L^{∞}(0, T) qui minimise J sur l’ensemble convexe K = {v ∈ L^{∞}(0, T) | α ≤ v(t) ≤ β pour presque tout t ∈ [0, T]}, où α et β sont des constantes arbitraires.

0.6.1 Existence d’un contrôle optimal

Soit (u_{n})_{n∈ℕ} ∈ K^{ℕ} une suite minimisante de J; (u_{n})_{n∈ℕ} étant bornée dans L^{∞}, on en extrait une suite, encore notée (u_{n}), qui converge vers u ∈ K dans L^{∞} faible-* et dans L^{2} faible. Comme les normes de y_{u_{n}} dans L^{r}(Q) (pour r < 5) et dans L^{δ′}(0, T; W^{1,d′}(Ω)) sont majorées par des fonctions croissantes de ||u_{n}||_{∞} (cf théorème 1), la suite (y_{u_{n}})_{n∈ℕ} est bornée dans ces espaces, on peut donc supposer, quitte à extraire une suite, que y_{u_{n}} converge pour la topologie faible de chacun de ces espaces vers y; on a même, grâce au lemme d’Aubin (utilisé comme dans la démonstration du théorème 1), pour tout r < 5, y_{u_{n}} → y dans L^{r}(Q) fort. En passant à la limite de la même manière que dans l’étape 4 de la démonstration du théorème 1, on prouve que y = y_{u}.

De plus, l’estimation (0.9) montre que (y_{u_{n}}(T))_{n∈ℕ} est bornée dans L^{s′}(Ω), et l’on peut donc supposer qu’elle converge faiblement dans cet espace vers une fonction y_{T}. On prouve alors que y_{T} = y(T).

Pour l’estimation: dans le cas présent, le f du lemme 1 est u_{n}δ_{x_{0}} − y_{u_{n}}^{3}; le terme u_{n}δ_{x_{0}} ne pose pas de problème, sa norme L^{l}(0, T; M) étant majorée; le terme y_{u_{n}}^{3} est borné dans L^{h} dès que h < 5/3, donc borné dans L^{h}(0, T; M) ce qui implique, par (0.9) y_{u_{n}}(T) bornée dans L^{s′} dès que s > 3h′/2, avec h < 5/3, soit h′ > 5/2, et s > 15/4, ce qui est vérifié. Pour l’égalité y_{T} = y(T) : on note a_{n} = y_{u_{n}}^{2}, a = y^{2}; y_{u_{n}} est solution de (0.12) avec α = u_{n}. Soit p_{n} la solution de (0.10) avec ce choix de a_{n} et un p_{0} ∈ D; soit p la solution de cette même équation avec a et ce même p_{0}. Par la formule de Green (0.13), on a ∫_{0}^{T} p_{n}(x_{0}, t)u_{n}(t) = ∫_{Ω} p_{0}y_{n}(T) → ∫_{Ω} p_{0}y_{T} lorsque n → ∞. Or p − p_{n} est solution de (0.11) en remplacant a par a_{n} et f par (a − a_{n})p. Par l’estimation finale sur w de l’etape 3 dans la démonstration du théorème 2, on en déduit que ||p − p_{n}||_{L^{1}(0,T;C)} ≤ M||(a − a_{n})p||_{r} dès que 1 > 5/2r − 1 (δ = d = r), soit r > 5/4. On sait de plus que p appartient à un L^{h} pour un h > 5/2; donc 1/h + 2/5 < 4/5 et il existe r > 5/4 tel que 1/r > 1/h + 2/5, soit 1/k = 1/r − 1/h > 2/5 et k < 5/2; avec ces choix, ||p − p_{n}||_{L^{1}(0,T;C)} ≤ M||a − a_{n}||_{k}||p||_{h} → 0 lorsque n → ∞, car k < 5/2 et a_{n} = y_{u_{n}}^{2} converge vers a = y^{2} dans L^{m} dès que m < 5/2 (compacité L^{p} − L^{q} et convergence simple presque partout de y_{u_{n}} vers y). Ainsi p_{n} → p dans L^{1}(0, T; C), et comme u_{n} → u dans L^{∞} faible-*, on en déduit ∫_{0}^{T} p_{n}(x_{0}, t)u_{n}(t) → ∫_{0}^{T} p(x_{0}, t)u(t); on a donc ∫_{0}^{T} p(x_{0}, t)u(t) = ∫_{Ω} p_{0}y_{T}, or par la formule de Green (0.13) entre p et y (solution de (0.12) avec a = y^{2}), on a ∫_{0}^{T} p(x_{0}, t)u(t) = ∫_{Ω} p_{0}y(T) = ∫_{Ω} p_{0}y_{T}; ceci étant vrai pour tout p_{0} ∈ D, on a bien l’égalité souhaitée.

Enfin, en remarquant que J_{1} : v → ||v − y_{d}||_{s′}^{s′} et J_{2} : u → ||u||_{2}^{2} sont fortement continues et convexes dans L^{s′} et L^{2}, donc faiblement s.c.i., on a J(u) = J_{1}(y_{u}) + J_{2}(u) ≤ lim inf J_{1}(y_{u_{n}}) + lim inf J_{2}(u_{n}) ≤ lim inf J(u_{n}), ce qui montre bien que u est un contrôle optimal pour J.

0.6.2 Etude d’un contrôle optimal

Comme K est convexe et J est différentiable, on sait qu’un minimum u de J vérifie ∀v ∈ K_{,}, J′(u)(v−u) ≥ 0. Pour le calcul de J′(u)(v−u), nous avons besoin de \frac{d}{du}(y_{u}(T))(v−u); on introduit donc la fonction h_{λ} = \frac{y_{u+λ(v−u)}−y_{u}}{λ}, solution de (0.12) avec α = v − u et a_{λ} = y_{u+λ(v−u)}^{2} +y_{u+λ(v−u)}y_{u} +y_{u}^{2}. Il n’est pas difficile de voir, par l’absurde, que a_{λ} → 3y_{u}^{2} dans L^{h}(Q) fort lorsque λ → 0, dès que h < \frac{5}{2} (la méthode utilisée pour montrer l’existence d’un contrôle optimal s’adapte sans difficulté, car u + λ(v − u) tend vers u dans L^{∞}(0, T) lorsque λ → 0). On sait donc, grâce au lemme 2 (enoncé avec un indice discret n mais valable aussi lorsque l’indice varie continuement), que h_{λ}(T) → z(T) dans L^{s′}(Ω), où z est la solution (0.12) avec a = 3y_{u}^{2}.

Ainsi, on peut affirmer que J′_{1}(u)(v − u) = s′ ∫_{Ω} |y_{u}(T) − y_{d}|^{s′−2}(y_{u}(T) − y_{d})z(T) dx. Soit p la solution de (0.10), avec p_{0} = s′|y_{u}(T)−y_{d}|^{s′−2}(y_{u}(T)−y_{d}) ∈ L^{s}(Ω) et a = 3y_{u}^{2}.

Le formule de Green (0.13) nous permet d’écrire

J′_{1}(u)(v − u) = ∫_{0}^{T} p(x_{0}, t)(v(t) − u(t)) dt

Ainsi, un contrôle optimal u vérifie:

∀v ∈ K , ∫_{0}^{T} (p(x_{0}, t) + 2Nu(t))(v − u)(t) dt ≥ 0  (0.16)

où p est la solution de

−\frac{∂p}{∂t} + Ap + 3y_{u}^{2}p = 0 dans Q,

\frac{∂p}{∂n_{A}} = 0 sur Σ,

p(T) = s′|y_{u}(T) − y_{d}|^{s′−2}(y_{u}(T) − y_{d}) sur Ω.

Il est alors aisé de voir, cf par exemple [L2], que, si N > 0, ces conditions sont équivalentes à u = Φ(p), où (y, p) est la solution du problème

\frac{∂p}{∂t} + Ap + 3y^{2}p = 0 dans Q ,

\frac{∂y}{∂t} + Ay + y^{3} = Φ(p)δ_{x_{0}} dans Q,

\frac{∂y}{∂n_{A}} = \frac{∂p}{∂n_{A}} = 0 sur Σ,

y(0) = 0 , p(0) = s′|y(T) − y_{d}|^{s′−2}(y(T) − y_{d}) dans Ω.

et

Φ(x) = \{ \begin{matrix}α si \frac{−1}{2N} x < α, \\ \frac{−1}{2N} x si \frac{−1}{2N} x ∈ [α, β], \\ β si \frac{−1}{2N} x > β \end{matrix}

Annexes

Annexe 1 : Lemme d’Aubin

On pourra en trouver une démonstration dans [L1].

Lemme d’Aubin : Soient X_{1} , X , X_{2} des espaces de Banach tels que X_{1} s’injecte compactement dans X et X s’injecte continuement dans X_{2}. Si (p_{1}, p_{2}) ∈]1, +∞[ et (y_{n})_{n∈ℕ} est une suite bornée dans L^{p_{1}}(0, T; X_{1}) qui vérifie (\frac{dy_{n}}{dt})_{n∈ℕ} est une suite bornée de L^{p_{2}}(0, T; X_{2}) alors (y_{n})_{n∈ℕ} est relativement compacte dans L^{p_{1}}(0, T; X).

Ce lemme est utilisé dans la démonstration du théorème 1 avec : X_{1} = W^{1,d′}(Ω), X = L^{1}(Ω), X_{2} = (W^{2,σ}(Ω))′, p_{1} = δ′ et p_{2} = ν.

Annexe 2 : Compacité L^{p} − L^{q}

Lemme classique d’intégration, nous ne donnons que son énoncé.

Lemme de compacité L^{p}−L^{q} : Si X est un espace mesuré de mesure finie, 1 ≤ q < p ≤ ∞ et (y_{n})_{n∈ℕ} est une suite bornée dans L^{p}(X) qui converge simplement presque partout vers y, alors y_{n} → y dans L^{q}(X).

Annexe 3 : Démonstration du lemme 2

\underline{Etape 1}: les a_{n} sont dans D(Q). Comme d’habitude, nous regardons l’équation vérifiée par z_{n} − z, c’est à dire \frac{∂(z_{n}−z)}{∂t} + A(z_{n} − z) + a_{n}(z_{n} − z) = (a − a_{n})z. Soit, pour φ ∈ D(Ω), w_{n} la solution de −\frac{∂w_{n}}{∂t} + Aw_{n} + a_{n}w_{n} = 0 , w_{n}(T) = φ; a_{n} étant régulier, on peut utiliser le principe de comparaison comme cela a déjà été fait pour déduire une estimation sur w_{n} du même type que les estimations obtenues sur la solution de cette équation avec a_{n} ≡ 0, c’est à dire ||w_{n}||_{L^{ν′}(0,T;L^{∞}(Ω))} ≤ C||φ||_{s} (où C est indépendant de a_{n}), dès que s > \frac{3ν′}{2} (cf lemme 1, estimations sur la solution de (Λ)_{w}^{t}). De plus, w_{n} étant continue, a_{n}w_{n} est L^{∞} et la formule de Green [formule (4.13), théorème 4.9 de R2] entre w_{n} et z_{n} (ou z) est valable; on trouve donc

∫_{Ω}(z_{n} − z)(T)φ dx = ∫_{Ω} ∫_{0}^{T} (a − a_{n})zw_{n} dxdt

Soit, grâce à l’estimation sur w_{n}, ||z_{n}(T) − z(T)||_{s′} = sup{∫_{Ω}(z_{n}(T) − z(T))φ dx , φ ∈ D(Ω) , ||φ||_{s} = 1\} ≤ C||(a − a_{n})z||_{L^{ν}(Q)}. Comme l’on a pris s > \frac{15}{4}, on peut choisir ν′ > \frac{5}{2} (soit \frac{1}{ν} > \frac{3}{5}) tel que s > \frac{3ν′}{2} ; on peut donc prendre h_{1} < \frac{5}{2} et h_{2} < 5 tels que \frac{1}{ν} = \frac{1}{h_{1}} + \frac{1}{h_{2}} > \frac{3}{5}; avec ce choix, on a ||z_{n}(T) − z(T)||_{s′} ≤ C||a_{n} − a||_{h_{1}}||z||_{h_{2}} → 0 car z ∈ L^{h_{2}}(Q) et a_{n} → a dans L^{h_{1}}(Q).

\underline{Etape 2}: les a_{n} ne sont plus réguliers. Prenons alors une suite (K_{m})_{m∈ℕ} de compacts de Q tels que ⋃ K_{m} = Q. Prenons aussi une approximation de l’unité (ρ_{m})_{m∈ℕ} régulière et symétrique telle que (supp(ρ_{m})+K_{m})∩Q^{c} = ∅. Soit alors a_{n}^{m} = (a_{n}χ_{|K_{m}}) ∗ ρ_{m} (χ_{|K_{m}} est toujours la fonction caractéristique de K_{m}); on sait que a_{n}^{m} ∈ D(Q) et que a_{n}^{m} → a_{n}, lorsque m → ∞, dans tous les L^{h}(Q), dès que h < \frac{5}{2}. On a de plus, toujours pour un tel h et en posant a^{m} = (aχ_{K_{m}}) ∗ ρ_{m}, ||a_{n}^{m} − a^{m}||_{h} = ||(a_{n}χ_{K_{m}} − aχ_{K_{m}}) ∗ ρ_{m}||_{h} ≤ ||ρ_{m}||_{1}||a_{n}χ_{K_{m}} − aχ_{K_{m}}||_{h} ≤ ||a_{n} − a||_{h}.

Notant z_{n}^{m} la solution de (0.12) avec a_{n}^{m} à la place de a_{n} et z^{m} la solution de cette équation avec a^{m} à la place de a_{n}, on sait, par le travail qui a été fait dans l’étape 1, que ||z_{n}(T) − z_{n}^{m}(T)||_{s′} ≤ C||a_{n}^{m} − a_{n}||_{h_{1}}||z_{n}||_{h_{2}} (h_{1} < \frac{5}{2} et h_{2} < 5 ne dépendent que de s), que ||z^{m}(T)−z(T)||_{s′} ≤ C||a^{m}−a||_{h_{1}}||z||_{h_{2}} et que ||z_{n}^{m}(T)−z^{m}(T)||_{s′} ≤ C||a_{n}^{m}−a^{m}||_{h_{1}}||z^{m}||_{h_{2}}. On peut donc écrire

||z_{n}(T) − z(T)||_{s′} ≤ ||z − n(T) − z_{n}^{m}(T)||_{s′} + ||z_{n}^{m}(T) − z^{m}(T)||_{s′} + ||z^{m}(T) − z(T)||_{s′}
≤ C(||z_{n}||_{h_{2}}||a_{n}^{m} − a_{n}||_{h_{1}} + ||z^{m}||_{h_{2}}||a_{n}^{m} − a^{m}||_{h_{1}} + ||z||_{h_{2}}||a^{m} − a||_{h_{1}})
≤ C′(||a_{n}^{m} − a_{n}||_{h_{1}} + ||a_{n} − a||_{h_{1}} + ||a^{m} − a||_{h_{1}})

(on a utilisé le fait que les solutions des équations du type (0.12) ont leur norme L^{h_{2}}(Q) bornée par une fonction croissante de ||α||_{∞}, fontion indépendante des termes a_{n} ou a_{n}^{m}).

On peut aussi écrire ||a_{n}^{m} −a_{n}||_{h_{1}} ≤ ||a_{n}^{m} −a^{m}||_{h_{1}} +||a^{m} −a||_{h_{1}} +||a−a_{n}||_{h_{1}}; en utilisant ||a_{n}^{m} − a^{m}||_{h_{1}} ≤ ||a_{n} − a||_{h_{1}}, on obtient finalement une majoration du type

||z_{n}(T) − z(T)||_{s′} ≤ M(||a_{n} − a||_{h_{1}} + ||a^{m} − a||_{h_{1}})

ce qui permet bien de conclure puisque a_{n} → a, dans L^{h_{1}}(Q) lorsque n → ∞, et a^{m} → a, dans L^{h_{1}}(Q) lorsque m → ∞ (on obtient même, en faisant tendre m vers ∞ dans l’expression ci-dessus, une majoration identique à celle obtenue dans le cas régulier de l’étape 1).

Références

[B] : P. Barras, ”Compacité de l’opérateur f → u solution d’une équation non linéaire du/dt + Au ∋ f”, C.R. Acad. Sc. Paris, sér. A, Vol. 286, 1978, pp. 1113-1116.

[BF] : H. Brezis, A. Friedmann, ”Nonlinear Parabolic Equation Involving Measures as Initial Condition”, J. Math. Pures Appl, Vol 62 (1983), pp 73-97.

[L] : J.L. Lions, ”Pointwise control for distributed systems”, Chapter 1 in ”Control and Estimation in Distributed Parameter Systems”, H.T. Banks Ed., SIAM, Frontiers in Applied Mathematics, 1992.

[L1] : J.L. Lions, ”Quelques Méthodes de Résolution des Problèmes aux Limites Non Linéaires”, Dunod, Paris 1969.

[L2] : J.L. Lions, ”Contrôle Optimal de Systèmes Gouvernés par des Equations aux Dérivées Partielles”, Springer-Verlag, 1971.

[RZ] : J.P. Raymond, H. Zidani, ”Hamiltonian Pontryagin’s Principles for Control Problems Governed by Semilinear Parabolic Equations”, preprint.

[R1] : J.P. Raymond, ”Pointwise Control of Second Order Parabolic Equation”, preprint.

[R2] : J.P. Raymond, ”Nonlinear Boundary Control of Semilinear Parabolic Problems with Pointwise State Constraints”, preprint.

Addendum A au rapport de Stage, Version ”s > 3/2”

Jérôme Droniou 23/09/96

On peut améliorer la condition ”s > 15/4” en ”s > 3/2”, simplement en utilisant le fait que les estimations obtenues sur la solution de l’équation sont, à la base, non homogènes en espace-temps.

On prend donc à partir de maintenant une fonction positive a appartenant à L_{k}(0, T; L^{k}(Ω)) dès que 1 + \frac{1}{2_{k}} > \frac{3}{2} − \frac{3}{4k} (a est toujours 3y^{2}, on utilise juste les estimations de la partie i) dans le théorème 1).

0.1 Lemme 2

On prend donc une fonction positive a appartenant à L_{k}(0, T; L^{k}(Ω)) dès que 1 + \frac{1}{2_{k}} > \frac{3}{2} − \frac{3}{4k} (a est toujours 3y^{2}, on utilise juste les estimations de la partie i) dans le théorème 1).

Ainsi, le lemme 2 est valable non plus avec s > \frac{15}{4} mais aussi avec s > \frac{3}{2}, si l’on suppose que les a_{n} convergent vers a dans tous les espaces L_{k}(0, T; L^{k}(Ω)) qui contiennent a.

0.1.1 La remarque

On trouve en fait, sur z et z_{n}, des estimations identiques à celles énoncées pour y dans la partie i) du théorème 1, c’est à dire

∀(r̃, r) vérifiant 1 + \frac{1}{r̃} > \frac{3}{2r′} , z_{n} ∈ L_{r}(0, T; L^{r}(Ω))

(nous sommes toujours dans le cas N = 3 et q′ = 1). Si l’on prend \frac{1}{h_{1}} + \frac{3}{2h_{2}} > \frac{3}{2} = 1 + \frac{1}{2}, on pourra trouver (r̃, r, k̃, k) vérifiant \frac{1}{_{r}} + \frac{3}{2r} > \frac{1}{2} et \frac{1}{_{k}} + \frac{3}{2k} > 1 tels que \frac{1}{h_{1}} = \frac{1}{_{r}} + \frac{1}{_{h}} et \frac{1}{h_{2}} = \frac{1}{r} + \frac{1}{k}. On aura alors

||a_{n}z_{n}||_{h_{1},h_{2}} ≤ ||a_{n}||_{_{k},k}||z_{n}||_{_{r},r}

On obtient donc a_{n}z_{n} ∈ L^{h_{1}}(0, T; L^{h_{2}}(Ω)), dès que \frac{1}{h_{1}} + \frac{3}{2h_{2}} > \frac{3}{2} = 1 + \frac{1}{2}, ce qui implique bien (prendre h_{2} = 1) que a_{n}z_{n} ∈ L^{h_{1}}(0, T; M(Ω)) pour tout h_{1} < ∞, donc, par le lemme 1, que z_{n} ∈ C_{w}([0, T]; L^{s′}(Ω)) pour tout s > \frac{3}{2}.

0.1.2 La démonstration

On peut maintenant reprendre la démonstration du Lemme 2.

\underline{Etape 1} : les a_{n} sont régulier.

On a, en utilisant pleinement l’estimation non homogène en espace-temps sur w_{n},

||z_{n}(T) − z(T)||_{s′} ≤ C||(a − a_{n})z||_{L^{ν}(0,T;L^{1}(Ω))}

Or on sait que, dès que ν < ∞, (a − a_{n})z_{n} ∈ L^{ν}(0, T; L^{1}(Ω)) (cf ci-dessus, les estimations sur a et a_{n} étant identiques) et que l’on a, pour des (r̃, r, k̃, k) ”acceptables” (i.e. tels que (a, a_{n}) ∈ L_{k}(0, T; L^{k}(Ω)) et z_{n} ∈ L_{r}(0, T; L^{r}(Ω))) ne dépendant que de ν,

||(a − a_{n})z_{n}||_{ν,1} ≤ ||a − a_{n}||_{_{k},k}||z_{n}||_{_{r},r}

Comme l’on a pris a_{n} réguliers qui convergent vers a dans L_{k}(0, T; L^{k}(Ω)), le tour est joué.

\underline{Etape 2} : les a_{n} ne sont plus réguliers.

Il suffit de remplacer les normes appelées ||.||_{h_{1}} par des normes du type ||.||_{_{k},k} et ||.||_{h_{2}}

par ||.||_{_{r},r}.

0.2 Formule de Green

La formule de Green reste valable non plus pour s > \frac{15}{4} mais encore pour s > \frac{3}{2}.

En effet, il suffit de montrer que p_{n} → p dans L^{l′}(0, T; C(Ω)) pour tout l′ < \frac{2s}{3}. Pour cela, la partie ”second membre nul” reste identique (elle est déjà donnée pour l′ < 2s/3), il suffit de modifier la partie ”condition initiale nulle”

On écrit que, dès que \frac{1}{l′} > \frac{3}{2d} + \frac{1}{δ} − 1, on a

||w_{n}||_{L^{l′}(0,T;C(\overline{Ω}))} ≤ M||(a − a_{n})p||_{δ,d}

(étape 2 du théorème 2). On sait que p ∈ L^{g}(0, T; L^{∞}(Ω)) dès que g < 2s/3, et que a − a_{n} → 0 dans L^{h}(0, T; L^{d}(Ω)) dès que 1 + \frac{1}{2h} > \frac{3}{2} − \frac{3}{4d}, soit \frac{3}{2d} + \frac{1}{h} > 1. Si l’on prend \frac{1}{l′} > \frac{3}{2s}, alors il existe δ, d et g tels que \frac{1}{l′} > \frac{3}{2d} + \frac{1}{δ} − 1 > \frac{1}{g} > \frac{3}{2s}, soit \frac{3}{2d} + (\frac{1}{δ} − \frac{1}{g}) > 1; en posant alors \frac{1}{h} = \frac{1}{δ} − \frac{1}{g}, on peut dire que a − a_{n} → 0 dans L^{h}(0, T; L^{d}(Ω)) et, puisque g < 2s/3, p ∈ L^{g}(0, T; L^{∞}(Ω)). On remarque ensuite que, puisque \frac{1}{δ} = \frac{1}{g} + \frac{1}{h},

||w_{n}||_{L^{l′}(0,T;C(\overline{Ω}))} ≤ M||(a − a_{n})p||_{δ,d} ≤ M||a − a_{n}||_{h,d}||p||_{g,∞}

et l’on peut conclure.

0.3 La partie ”Existence d’un contrôle optimal”

Pour finir la version ”s > 3/2”, il reste donc à montrer que y_{u_{n}}(T) → y_{u}(T) dans L^{s′}(Ω) faible, dans le cas s > 3/2.

\underline{Estimation} : On remarque d’abord que (u_{n}δ_{x_{0}})_{n∈ℕ} est bornée dans L^{∞}(0, T; M(\overline{Ω})), puis que (y_{u_{n}}^{3})_{n∈ℕ} est bornée dans L^{l}(0, T; L^{1}(Ω)), donc dans L^{l}(0, T; M(\overline{Ω})), dès que 1 + \frac{1}{3l} > \frac{3}{2} − \frac{3}{2×3}, c’est à dire pour tout l fini. L’estimation (0.9) nous permet alors d’affirmer que y_{u_{n}}(T) est bornée dans L^{s′}(Ω), pour tout s > 3/2, et converge donc à une sous-suite près faiblement dans ces espaces vers un y_{T}.

\underline{y_{T} = y_{u}(T)} : Il suffit de montrer que p_{n} → p dans L^{1}(0, T; C(\overline{Ω})) dans le cas s > 3/2. Toujours grâce à l’étape 3 du théorème 2, on a

||p_{n} − p||_{1,C} ≤ M||(a − a_{n})p||_{δ,d}

pour tous (δ, d) tels que 2 > \frac{3}{2d} + \frac{1}{δ}, avec a = y_{u}^{2} et a_{n} = y_{u_{n}}^{2}. Or, par le théorème 2, comme s > 3/2, il existe g > 1 tel que p ∈ L^{g}(0, T; Ł^{∞}(Ω)), donc, si on écrit \frac{1}{δ} = \frac{1}{h} + \frac{1}{g}, on a

||(a − a_{n})p||_{δ,d} ≤ ||a − a_{n}||_{h,d}||p||_{g,∞}

La condition 2 > \frac{3}{2d} + \frac{1}{δ} devient donc 2 − \frac{1}{g} > \frac{3}{2d} + \frac{1}{h}. Or on sait (cf à la fin de cet addendum) que a_{n} → a dans L^{h}(0, T; L^{d}(Ω)) fort dès que \frac{1}{h} + \frac{3}{2d} > 1. Comme g > 1, 2 − \frac{1}{g} > 1 et l’on peut trouver (h, d) tels que 2 − \frac{1}{g} > \frac{3}{2d} + \frac{1}{g} > 1; on a alors

||p_{n} − p||_{1,C} ≤ M||a − a_{n}||_{h,d}||p||_{g,∞} → 0

grâce au fait que \frac{1}{h} + \frac{3}{2d} > 1. On a donc bien le résultat p_{n} → p dans L^{1}(0, T; C(\overline{Ω})).

0.3.1 Montrons que a_{n} → a

On veut donc prouver que y_{u_{n}}^{2} → y_{u}^{2} dans L^{h}(0, T; L^{d}(Ω)), dès que \frac{1}{h} + \frac{3}{2d} > 1.

Utilisons d’abord le lemme d’Aubin de manière plus fine que précédemment; on sait que X_{1} = W^{1,d′} s’injecte compactement dans X = L^{k}, pour tout k < d^{′∗} = \frac{3d′}{3−d′} = \frac{3d}{2d−3}, donc que y_{u_{n}} est relativement compacte dans L^{δ′}(0, T; L^{k}(Ω)) dès que k < \frac{3d}{2d−3} et \frac{1}{2} − \frac{1}{δ} +1 > \frac{3}{2d} (c’est le lemme d’Aubin, car y_{n} est bornée dans L^{δ′}(0, T; W^{1,d′}(Ω)), dès que 1 + \frac{1}{3l} > 1— cas q′ = 1 et N = 3, donc pour tout l fini ici— et \frac{1}{2} − \frac{1}{δ} + \frac{1}{l′} > \frac{3}{2d}).

Ainsi, y_{u_{n}} est relativement compacte dans L_{k}(0, T; L^{k}(Ω)) dès que \frac{1}{2} + \frac{1}{_{k}} > \frac{3}{2d} > \frac{3}{2} \frac{2k−3}{3k}, soit \frac{1}{_{k}} + \frac{3}{2k} > \frac{1}{2}; on remarque au passage que l’on obtient la même condition sur les exposants que dans la partie i) du théorème 1.

A une sous-suite près, y_{u_{n}} converge donc vers y_{u} dans L_{k}(0, T; L^{k}(Ω)), dès que \frac{1}{_{k}} + \frac{3}{2k} > \frac{1}{2} (la limite est bien y_{u} car l’on sait déjà que y_{u_{n}} converge vers y_{u} dans L^{1}(Q)). Si a_{n} = y_{u_{n}}^{2} et a = y_{u}^{2}, on peut alors écrire

(∫_{Ω} |a_{n}(t) − a(t)|^{k/2} dx)^{2/k} = (∫_{Ω} |y_{u_{n}}(t) − y_{u}(t)|^{k/2}|y_{u_{n}}(t) + y_{u}(t)|^{k/2} dx)^{2/k}
≤ (∫_{Ω} |y_{u_{n}}(t) − y_{u}(t)|^{k} dx)^{1/k} (∫_{Ω} |y_{u_{n}}(t) + y_{u}(t)|^{k} dx)^{1/k}

(par Cauchy-Schwartz), donc

∫_{0}^{T} (∫_{Ω} |a_{n} − a|^{k/2} dx)^{\frac{_{k}/2}{k/2}} dt ≤ ∫_{0}^{T} (∫_{Ω} |y_{u_{n}}(t) − y_{u}(t)|^{k} dx)^{\frac{_{k}}{2k}} (∫_{Ω} |y_{u_{n}}(t) + y_{u}(t)^{k} dx)^{\frac{_{k}}{2k}} dt

≤ (∫_{0}^{T} (∫_{Ω} |y_{u_{n}}(t) − y_{u}(t)|^{k} dx)^{\frac{_{k}}{k}} dt)^{1/2}

× (∫_{0}^{T} (∫_{Ω} |y_{u_{n}}(t) − y_{u}(t)|^{k} dx)^{\frac{_{k}}{k}} dt)^{1/2}

ce qui permet bien de dire que a_{n} → a dans L^{_{k}/2}(0, T; L^{k/2}(Ω)), puisque y_{u_{n}} → y_{u} dans L_{k}(0, T; L^{k}(Ω)) et est donc bornée dans cet espace. La convergence a donc lieu dans L^{h}(0, T : L^{d}(Ω)) dès que \frac{1}{2h} + \frac{3}{4d} > \frac{1}{2}, soit \frac{1}{h} + \frac{3}{2d} > 1, ce qui a été annoncé.