Disjonction en systèmes dynamiques, ensembles minimaux, approximation diophantienne

Sylvie Ruette

stage 1997

La notion de disjonction en système dynamique a été introduite dans l’article [FUR1] : Disjointness in ergodic theory, minimal sets, and a problem in diophantine approximation, de Harry Furstenberg (qui est l’article de référence de ce travail), de même que les premiers développements.

L’objet de ce rapport est tout d’abord de poser les bases de la disjonction, tant pour les sytèmes dynamiques mesurés (que l’on nommera processus) que pour les sytèmes dynamiques topologiques (nommés flots). On formera des produits, on parlera de facteurs de processus ou de flots. Par analogie avec l’arithmétique des entiers, on a envie de dire que deux processus sont premiers entre eux s’ils n’ont pas de facteur commun non trivial. Dans les entiers, une condition équivalente pour caractériser des nombres premiers entre eux est de dire que si chacun divise un nombre donné, alors leur produit divise ce nombre. En système dynamique, l’équivalence de ces deux propriétés n’est pas connue et cette dernière notion, plus riche, sera appelée disjonction.

Nous donnerons les propriétés majeures de la disjonction, puis nous classifierons certains types de processus ou de flots pour illustrer le fait que certaines classes sont liées entre elles par des relations de disjonction. Plutôt que de nous attarder sur ce sujet, fort riche mais mieux connu, nous nous intéresserons ensuite à une application de la disjonction topologique qui montre que les ensembles minimaux dans les groupes (en particulier tores et cercle) sont, en un certain sens, de petite taille. Finalement, nous mettrons l’accent sur un résultat d’approximation diophantienne (pour un semi-groupe d’entiers Σ, peut-on trouver, pour tout irrationnel α et tout ε > 0, un entier n et un élément s ∈ Σ tel que |α − \frac{n}{s} | < \frac{ε}{s}?), qui est une conséquence de l’élargissement d’un théorème sur les ensembles minimaux du cercle.

1 Disjonction métrique

1.1 Définitions et propriétés

Définition 1.1 (processus)

Soit X un espace, F une σ-algèbre de X, μ une mesure de probabilité définie sur F et T : X → X une application mesurable pour F préservant la mesure μ (c’est à dire ∀A ∈ F, μ(T^{−1}A) = μ(A)).

Deux quadruplets (X, F, μ, T) et (X′, F′, μ′, T′) sont dits équivalents si à toute classe d’ensembles dans X modulo les ensembles de mesure nulle on peut faire correspondre une classe similaire dans X′, et que cette correspondance envoie F sur F′ en conservant la mesure des ensembles de F et en envoyant T^{−1}(A) sur T^{′−1}(A′) si A′ correspond à A. Un processus P_{X} est alors une classe d’équivalence de tels quadruplets, et sera désigné généralement par un représentant P_{X} = (X, F, μ, T) (si F est la σ-algèbre des boréliens, on notera simplement P_{X} = (X, μ, T)).

Si T est inversible, on parlera de processus bilatéral.

On supposera toujours que (X, F, μ) est séparable, c’est à dire qu’il existe une partie dénombrable (A_{n})_{n∈ℕ} d’éléments de F telle que ∀ε > 0, ∀B ∈ F, ∃n ∈ ℕ, μ(BΔA_{n}) < ε.

Par abus, on désignera l’application T par le même nom pour les différents processus car il n’y aura pas d’ambiguité.

Exemple : Voici un exemple de quadruplets équivalents montrant que l’espace X joue un rôle peu important comparé au rôle de F : On prend un processus (X, F, μ, T), I = [0, 1] et on pose X′ = X × I, F′ = {A × I|A ∈ F}, μ′(A × I) = μ(A) et T′(x, t) = (T x, t). Alors (X, F, μ, T) et (X′, F′, μ′, T′) définissent le même processus.

On désignera par T l’opérateur linéaire qui agit sur les fonctions mesurables f : X → ℂ par T f = f ∘ T. On remarquera que ∀g ≥ 0, ∫_{X} T g dμ = ∫_{X} gdμ car μ est T -invariante, ce qui fait que T est une isométrie dans L^{2}(X, F, μ).

Définition 1.2 (facteur d’un processus, homomorphisme)

Soit P_{X} = (X, F, μ, T) et P_{Y} = (Y, G, ν, T) deux processus, φ : X → Y une application mesurable telle que φμ = ν (c’est à dire ∀A ∈ G, μ(φ^{−1}A) = ν(A)) et T φ(x) = φT (x) pour tout x dans X. On dit alors que P_{Y} est un facteur de P_{X} et on note P_{X} ⟶^{φ} P_{Y}. On dit aussi que φ est un homomorphisme de P_{X} sur P_{Y}.

Remarque : L’application P_{X} ⟶^{φ} P_{Y} n’existe pas nécessairement pour toutes les représentations de P_{X} et P_{Y} sous forme de quadruplets. On dira tout de même que P_{Y} est un facteur de P_{X} s’il existe des représentations de P_{X} et P_{Y} admettant une telle application.

Exemple : Si F′ est une sous σ-algèbre de F qui est invariante par T, alors (X, F′, μ, T) est un facteur de (X, F, μ, T). En fait, tout facteur P_{Y} = (Y, G, ν, T) peut être représenté ainsi : il suffit de prendre F′ = φ^{−1}(G) et alors (X, F′, μ, T) est un représentant de P_{Y}.

Définition 1.3 (disjonction)

Deux processus P_{X} et P_{Y} sont dits disjoints si à chaque fois qu’il existe des homomorphismes P_{Z} ⟶^{α} P_{X} et P_{Z} ⟶^{β} P_{Y} alors il existe un homomorphisme P_{Z} ⟶^{γ} P_{X} × P_{Y} tel que α = π_{X} ∘ γ et β = π_{Y} ∘ γ où π_{X} et π_{Y} désignent les projections canoniques de X × Y sur X et Y respectivement. On note alors P_{X}⊥P_{Y}.

Lemme 1.4 Etant donnés des processus P_{X}_{1}, P_{X}_{2}, P_{Y} et des homomorphismes P_{X}_{1} ⟶^{α_{1}} P_{Y} et P_{X}_{2} ⟶^{α_{2}} P_{Y}, il existe un processus P_{Z} et des homomorphismes P_{Z} ⟶^{β_{1}} P_{X}_{1}, P_{Z} ⟶^{β_{2}} P_{X}_{2} tels que α_{1}β_{1} = α_{2}β_{2} (égalité presque partout).

[figure: P_{Z}; β_{1}; ^{P_{X}^{1}}; α_{1}; β_{2}; ^{P_{X}^{2}}; α_{2}; P_{Y}]

Deux résultats fondamentaux de la disjonction sont les suivants :

Proposition 1.5 Si P_{Y} _{1} est un facteur de P_{X}_{1}, P_{Y} _{2} un facteur de P_{X}_{2} et P_{X}_{1}⊥P_{X}_{2}, alors P_{Y} _{1}⊥P_{Y} _{2}.

Corollaire 1.6 Deux processus disjoints n’ont pas de facteur commun non trivial.

On voit bien ici l’analogie avec l’arithmétique (deux nombres premiers entre eux n’ont pas de diviseur commun autre que 1). Cependant, la question de la réciproque dans le cas des processus n’est pas encore résolue.

Les preuves des résultats énoncés dans cette partie pourront être trouvées en annexe (5.1).

1.2 Relations entre classes de processus

Nous énumérons ici quelques classes de processus, choisies pour leur importance en système dynamique mais aussi parce que le concept de disjonction peut leur être appliqué pour obtenir des relations intéressantes.

Si C est une classe de processus, C^{⊥} désignera la classe des processus disjoints de tous ceux de C.

1.2.1 Processus ergodiques (E)

P_{X} est ergodique si ∀A ∈ F, T A ⊂ A ⇒ μ(A) = 0 ou 1. De façon équivalente, P_{X} est ergodique si les seules fonctions L^{2} invariantes par T sont les constantes (voir [C.F.S]).

La classe des processus ergodiques sera notée E.

1.2.2 Processus faiblement mélangeants (M)

P_{X} est faiblement mélangeant (ou P_{X} ∈ M) si

∀A, B ∈ F, lim_{N→∞} \frac{1}{N} ∑_{k=0}^{N−1} |μ(T^{−k}A ∩ B) − μ(A)μ(B)| = 0

.

Voici quelques autres caractérisations équivalentes du mélange faible :

i ∀f ∈ L^{2}(X, F, μ), lim_{N→∞} \frac{1}{N} ∑_{k=0}^{N−1} |∫_{X} T^{k}f.gdμ − ∫_{X} fdμ. ∫_{X} gdμ| = 0

ii P_{X} × P_{X} ∈ E

iii P_{X} × E ⊂ E

iv l’opérateur T n’admet que les fonctions constantes comme vecteurs propres.

(on pourra pour s’en convaincre regarder [C.F.S] ou [KRE]).

1.2.3 Shifts de Bernoulli (B)

P_{X} est un shift de Bernoulli (unilatéral) s’il est de la forme (Ω^{ℕ}, F, μ, T) où (Ω, G, ν) est un espace mesuré, F la σ-algèbre produit, μ la mesure produit sur Ω^{ℕ} et T défini par T (ω_{0}, ω_{1}, ⋯) = (ω_{1}, ω_{2}, ⋯).

Un shift de Bernoulli bilatéral est obtenu de façon semblable avec (Ω^{ℤ}, F, μ, T) où T ((ω_{n})_{n∈ℤ}) = (ω′_{n})_{n∈ℤ} avec ω′_{n} = ω_{n+1}.

La classe des shifts de Bernoulli sera notée B.

Remarque : On peut déjà voir que B ⊂ M ⊂ E.

La définition des deux prochaines classes repose sur la notion d’entropie métrique, dont la définition n’est pas rappelée ici (on pourra se référer par exemple à [HAL1]). On notera H(P_{X}) l’entropie d’un processus P_{X} = (X, F, μ, T) (qui ne dépend pas du quadruplet représentant P_{X}).

1.2.4 Processus déterministes (D)

Un processus P_{X} est dit déterministe (P_{X} ∈ D) si H(P_{X}) = 0.

1.2.5 Processus de Pinsker (P)

Un processus P_{X} est dit de Pinsker (P_{X} ∈ P) si tout facteur non trivial de P_{X} a une entropie strictement positive.

Il est immédiat que P ∩ D ne contient que le processus trivial.

1.2.6 Processus de Weyl (W)

Définition 1.7 (extension de groupe)

Soit P_{X} = (X, F, μ, T) un processus et G un groupe de transformations de X dans X agissant de façon mesurable (l’application G × X → X qui à (g, x) fait correspondre g.x est mesurable), préservant la mesure μ et commutant avec T, c’est à dire ∀g ∈ G, ∀x ∈ X, T (g.x) = g.T (x).

Soit G la σ-algèbre des ensembles G-invariants. Alors si P_{Y} = (X, G, μ, T), on dit que P_{X} est une extension de groupe de P_{Y} et on note P_{Y} = P_{X}/G.

La classe W des processus de Weyl est alors définie comme étant la plus petite classe de processus satisfaisant les conditions suivantes :

i le processus trivial est dans W;

ii un facteur d’un processus de W est dans W;

iii une extension de groupe ergodique d’un processus de W est dans W.

1.2.7 Processus de Kronecker (K)

Soit G un groupe compact, μ la mesure de Haar sur G, et τ ∈ G un élément qui n’est contenu dans aucun sous-groupe fermé propre. On définit T sur G par T g = τ.g pour tout g dans G. P_{X} = (G, μ, τ) est appelé un processus de Kronecker (ce qu’on note P_{X} ∈ K).

On peut montrer que les processus de Kronecker sont ergodiques (K ⊂ E). On remarque alors facilement qu’un processus de Kronecker est une extension de groupe ergodique du processus trivial (la réciproque est également vraie) donc K ⊂ W.

Relations

Nous regroupons ci-dessous, sans démonstration (voir pour cela [FUR1]), les différentes relations que l’on peut obtenir, liant les classes précédemment définies.

i B ⊂ P ⊂ M ⊂ E.

ii K ⊂ W ⊂ D.

iii P, M, W, D, E sont stables par passage aux facteurs.

iv Les classes B, M, W, D vérifient C × C ⊂ C.

v Deux processus ayant des entropies strictement positives ne peuvent pas être disjoints.

vi M = K^{⊥} ∩ E, M⊥W.

vii B^{⊥} = D, D^{⊥} = P.

Nous ne traiterons pas ici les développements sur la disjonction métrique et nous renvoyons à ce propos à l’article de référence [FUR1]. En particulier, un résultat peut être obtenu quant au filtrage de suites stationnaires si celles-ci correspondent à des processus disjoints (peut-on filtrer parfaitement (x_{n} + y_{n})_{n∈ℕ} pour retrouver (x_{n})_{n∈ℕ}?).

2 Disjonction topologique

2.1 Définitions et propriétés

Définition 2.1 (flot)

Un flot est un couple (X, T) où X est un espace compact métrique et T est une application continue de X dans X. Si T est un homéomorphisme, le flot est dit bilatéral.

Si x ∈ X, {T^{n}x|n ∈ ℕ} est l’orbite de x.

Si Y ⊂ X est un ensemble fermé invariant par T, on dit que (Y, T) est un sous-flot de (X, T). Par abus, on notera toujours T l’application dans les différents flots.

Définition 2.2 (facteur)

Soit (X, T), (Y, T) deux flots, et φ : X → Y une application continue surjective telle que T φ(x) = φT (x) pour tout x dans X. On dit alors que (Y, T) est un facteur de (X, T) et on note (X, T) ⟶^{φ} (Y, T). On dit aussi que φ est un homomorphisme de (X, T) sur (Y, T).

Exemple : Soit (X, T) et (Y, T) deux flots. On définit le flot produit (X × Y, T) où T (x, y) = (T x, T y). (X, T) et (Y, T) sont alors des facteurs de (X × Y, T), les homomorphismes π_{X} et π_{Y} étant les projections canoniques de X × Y sur X et Y.

Définition 2.3 (disjonction)

Soit (X, T), (Y, T) deux flots. Ils sont dits disjoints si à chaque fois qu’il existe un flot (Z, T) avec (Z, T) ⟶^{α} (X, T), (Z, T) ⟶^{β} (Y, T), alors il existe un homomorphisme (Z, T) ⟶^{γ} (X × Y, T) avec α = π_{X} ∘ γ et β = π_{Y} ∘ γ (π_{X} et π_{Y} étant les projections canoniques de X × Y sur X et Y). On notera (X, T)⊥(Y, T).

Lemme 2.4 (X, T)⊥(Y, T) si et seulement si le seul sous-ensemble fermé Δ ⊂ X ×Y satisfaisant :

i) T Δ ⊂ Δ; ii) π_{X}Δ = X; iii) π_{Y} Δ = Y est Δ = X × Y.

Voici des résultats similaires à ceux obtenus dans le cas des processus. Pour leurs démonstrations, on renvoie au cas métrique, très proche.

Lemme 2.5 Etant donnés des flots (X_{1}, T), (X_{2}, T), (Y, T) et des homomorphismes (X_{1}, T) ⟶^{α_{1}} (Y, T) et (X_{2}, T) ⟶^{α_{2}} (Y, T), il existe un processus (Z, T) et des homomorphismes (Z, T) ⟶^{β_{1}}

(X_{1}, T), (Z, T) ⟶^{β_{2}} (X_{2}, T) tels que α_{1}β_{1} = α_{2}β_{2}.

[figure: (Z, T); β_{1}; (X_{1}, T); α_{1}; β_{2}; (X_{2}, T); α_{2}; (Y, T)]

Proposition 2.6 Si (Y_{1}, T) est un facteur de (X_{1}, T), (Y_{2}, T) un facteur de (X_{2}, T) et (X_{1}, T) ⊥ (X_{2}, T), alors (Y_{1}, T)⊥(Y_{2}, T).

Corollaire 2.7 Deux flots disjoints n’ont pas de facteur commun non trivial.

On ne sait pas si la réciproque est vraie ou non.

2.2 Relations entre classes

2.2.1 Flots ergodiques (E)

Un flot (X, T) est ergodique (ou topologiquement transitif) si ∀A, B ouverts de X, ∃n ∈ ℕ, T^{n}A∩ B ≠ ∅. On désignera la classe des flots ergodiques par E.

Remarque : E est stable par passage aux facteurs (un facteur d’un flot ergodique est également ergodique).

2.2.2 Flots faiblement mélangeants (W)

Par analogie à une des cacartérisations des processus faiblement mélangeants, on dira qu’un flot (X, T) est faiblement mélangeant (ou (X, T) ∈ W) si (X, T) × (X, T) est ergodique (dans le cadre des flots, ceci n’entraîne pas nécessairement (X, T) × E ⊂ E).

Proposition 2.8 Si (X, T) est faiblement mélangeant, alors pour tout n, (X, T)^{n} = (X × X × ⋯ × X, T) est ergodique.

Remarque : W est stable par passage aux facteurs.

2.2.3 Shifts de Bernoulli (B)

Soit Ω un espace compact métrique, X = Ω^{ℕ} et T (ω_{0}, ω_{1}, ⋯) = (ω_{1}, ω_{2}, ⋯). On dit que (X, T) est un shift de Bernoulli et on note (X, T) ∈ B. Si Ω est fini, on dira que (X, T) est un shift de Bernoulli de type fini.

Tout flot est isomorphe à un sous-flot d’un shift de Bernoulli. En effet, on peut identifier X avec X′ = {(x_{0}, x_{1}, x_{2}, ⋯) ∈ X^{ℕ}|x_{n+1} = T x_{n}} de sorte que (X, T) soit un sous-flot de (X^{ℕ}, T). On définit ainsi les flots de type fini comme étant les sous-flots des shifts de Bernoulli de type fini.

Remarque : B est stable par produit. Un shift de Bernoulli est ergodique.

2.2.4 Flots minimaux (M)

Un flot est minimal s’il n’a pas de sous-flot propre. Un caractérisation équivalente des flots minimaux est que l’orbite de tout point doit être dense. On notera M la classe des flots minimaux.

Tout flot possède un sous-flot minimal (appelé ensemble minimal).

Remarque : Un flot minimal est ergodique. L’ensemble M est stable par passage aux facteurs et par limite projective (la limite projective de flots minimaux est à son tour un flot minimal).

2.2.5 Flots semi-simples (S)

Un flot (X, T) est dit semi-simple, ou (X, T) ∈ S, si X est la réunion de tous les ensembles minimaux de X (nécessairement disjoints).

Remarque : On a clairement M ⊂ S. De même que pour M, S est stable par passage aux facteurs, par limite projective et par restriction aux sous-flots. Un flot semi-simple et ergodique est minimal.

2.2.6 F-flots (F)

(X, T) est appelé un F-flot, ou (X, T) ∈ F, si :

– pour tout n, (X, T^{n}) est ergodique;

– l’ensemble des points fixés par une puissance de T ({x ∈ X|∃n ∈ ℕ, T^{n}x = x}) est dense dans X (d’où la notation “F” pour “points fixes”).

Exemple : Tout shift de Bernoulli est un F-flot car (Ω^{ℕ}, T^{n}) = ((Ω^{n})^{ℕ}, T^{n}) est un shift de Bernoulli, donc ergodique, et l’ensemble des suites périodiques (donc fixes pour un certain T^{n}) est dense dans Ω^{ℕ}.

2.2.7 Flots distals (D)

Un flot (X, T) est distal, ou (X, T) ∈ D, si la relation lim T^{n_{i}}x = y = lim T^{n_{i}}x′ implique que x = x′. De façon équivalente, (X, T) est distal si inf{d(T^{n}x, T^{n}y)|n ∈ ℕ} > 0 dès que x ≠ y. Ceci implique que T est en fait un homéomorphisme (on pourra en trouver la preuve dans [FUR1]; pour plus de détails concernant les flots distals, voir aussi [FUR2]).

Remarque : D est stable par passage aux facteurs, par produit et par limite projective. Un sous-flot d’un flot distal est aussi distal.

Définition 2.9 (extension de groupe)

Soit (X, T) un flot et G un groupe compact agissant de façon continue sur X (l’application G × X → X qui à (g, x) associe g.x est continue). On suppose de plus que s’il existe x ∈ X avec g.x = x alors g = id, et que l’action de G commute avec T (c’est à dire ∀g ∈ G, ∀x ∈ X, T (g.x) = g.T (x)).

Y = X/G est alors un espace compact métrisable (voir [DUG]) et T passe au quotient de sorte que (Y, T) est un facteur de (X, T). On dit alors que (X, T) est une extension de groupe de (Y, T).

Proposition 2.10 Une extension de groupe d’un flot distal est un flot distal.

Proposition 2.11 La classe D ∩ M est la plus petite classe C vérifiant :

i le flot trivial est dans C;

ii les facteurs des flots de C sont dans C;

iii une extension de groupe d’un flot de C est dans C si elle est minimale;

iv les limites projectives d’éléments de C sont encore dans C.

Ce résultat est en fait une forme plus faible du résultat sur les flots distals obtenus dans l’article [FUR2].

2.2.8 Flots de Kronecker (K)

Soit G un groupe compact abélien et τ un élément de G dont les puissances sont denses dans G. On définit T : G → G par T g = τ.g. G est alors appelé un flot de Kronecker et la classe de tels flots est notée K.

Remarque : On peut voir facilement qu’un flot de Kronecker est une extension de groupe minimale du flot trivial (la réciproque est également vraie), ce qui fait que K ⊂ D. K est stable par passage aux facteurs.

Voici de nouveau des relations liant les classes que nous venons de définir :

Relations ensemblistes

i B ⊂ W ∩ F;

ii W, F ⊂ E;

iii K ⊂ D ∩ M;

iv D, M ⊂ S;

v S ∩ E = M;

vi D ∩ W = M ∩ F = {flot trivial};

vii W × M ⊂ E;

viii D = {X|X × X ∈ S} = {X|X × S ⊂ S}.

Relations de disjonction

i (X, T)⊥(Y, T) ⇒ (X, T) ∈ M ou (Y, T) ∈ M;

ii B^{⊥} = F^{⊥} = M;

iii W⊥(D ∩ M).

3 Ensembles minimaux et déterministes

3.1 Ensembles minimaux d’un groupe

Soit G un groupe compact et T un endomorphisme de G tel que (G, T) soit un F-flot. La partie précédente nous dit que (G, T)⊥M, donc en particulier (G, T) est disjoint de ses propres sous-flots minimaux. Nous allons énoncer que, d’une certaine façon, les ensembles minimaux d’un tel flot sont “petits”.

Définition 3.1 (ensemble restreint)

Soit G un groupe topologique, T un endomorphisme de G et A un sous-ensemble fermé invariant par T. A est dit restreint si le seul ensemble B fermé invariant par T tel que AB = G est B = G.

Lemme 3.2 Soit G un groupe compact métrique non trivial et T un endomorphisme de G. Si (G, T) est ergodique, un ensemble restreint ne peut pas être une partie génératrice de G.

Théorème 3.3 Si (G, T) est un F-flot, alors tout ensemble minimal pour (G, T) est restreint.

Ce théorème s’applique en particulier pour les deux types de flot suivants :

– G = K^{r} = ℝ^{r}/ℤ^{r} (tore de dimension r) et T correspondant à une matrice r × r à coefficients entiers n’ayant pas de valeur propre racine de l’unité.

– G = Λ^{ℕ} où Λ est un groupe abélien compact (par exemple Λ = {0, 1, ⋯, a − 1} = ℤ/aℤ) et T est le shift sur Λ^{ℕ}.

3.2 Dimensions et ensembles restreints

Soit Λ = {0, 1, ⋯, a − 1} et Ω = Λ^{ℕ}. Il existe une correspondance φ, bijective sauf sur un

ensemble dénombrable, entre Ω et K = [0, 1]/_{0∼1} si on pose φ((ω_{n})_{n∈ℕ}) = ∑_{n=0}^{∞} ω_{n}a^{−(n+1)}. Le shift

T correspond alors à la multiplication par a, notée τ_{a}.

Si A ⊂ Ω, on note A^{∗} = φ(A). Les ensembles T -invariants et τ_{a}-invariants se correspondent, et nous considèrerons à la fois les propriétés de A et A^{∗} pour déterminer la “taille” de A ou A^{∗}.

Différentes notions de “taille” peuvent être définies. En voici trois, qui se correspondent dans le cas des ensembles invariants.

Définition 3.4 (dimension de Hausdorff)

Soit B ⊂ ℝ^{r}, r > 0. R_{r}(B) = {recouvrement de B par des boules de diamètre ≤ r}. On pose

H_{r}^{α}(B) = inf { ∑_{C∈R}(diam C)^{α}|R ∈ R_{r}(B)}. H^{α}(B) = lim_{r→0} H_{r}^{α}(B) existe et est appelée la mesure

de Hausdorff de B en dimension α.

Il existe un unique D tel que si α < D, H^{α}(B) = +∞ et si α > D, H^{α}(B) = 0. D est alors appelé la dimension de Hausdorff de B qui est notée D(B).

On a D(ℝ^{d}) = d, et si B ⊂ C, 0 ≤ D(B) ≤ D(C).

Dans le cas du cercle K, on a D(K) = 1 et D(B) ∈ [0, 1] si B ⊂ K.

Définition 3.5 (dimension relative)

Soit B ⊂ K. On partitionne K en N intervalles : K = ⋃_{m=0}^{N−1} [\frac{m}{N}, \frac{m + 1}{N}] et on note ν(B, N)

le nombre de ces intervalles contenant un point de B. Alors, si lim_{N→∞} \frac{log ν(B, N)}{log N} existe, elle est

appelée la dimension relative de B et on la note d(B).

On a toujours d(B) ≥ D(B).

Définition 3.6 (entropie topologique)

Soit A ⊂ Ω. On désigne par μ(A, N) le nombre de N-uplets (a_{0}, ⋯, a_{N−1}) tels qu’il existe ω ∈ A

avec ω_{i} = a_{i} pour i = 0 ⋯ N − 1. Alors, si lim_{N→∞} \frac{log μ(A, N)}{N} existe, elle coincide avec l’entropie topologique du flot (A, T) (voir [HAL1] pour une définition générale de l’entropie topologique) et on la note h(A).

Proposition 3.7 Soit A un ensemble T -invariant de Ω et A^{∗} le sous-ensemble de K correspondant. Alors d(A^{∗}) et h(A) existent, et

D(A^{∗}) = d(A^{∗}) = \frac{h(A)}{log a}

Si A est un flot de type fini et h(A) = 0, on dit que A (ou A^{∗}) est un flot déterministe.

Proposition 3.8 Si B est un sous-ensemble de K fermé invariant par τ_{a} et déterministe (c’est à dire de dimension de Hausdorff nulle), alors B est restreint.

Remarque : La réciproque n’est pas vraie : il existe des ensembles minimaux de Ω (donc restreints) qui ont une entropie topologique non nulle (un tel contre-exemple est construit dans l’article de référence [FUR1,p38]).

Les preuves des résultats précédents pourront être trouvés en annexe (5.2).

3.3 Une caractéristique des flots minimaux

Définition 3.9 (ensemble relativement dense)

Soit {n_{k}|k ∈ ℕ} un ensemble d’entiers avec n_{k} < n_{k+1}. Il est dit relativement dense s’il existe une constante K < ∞ telle que ∀k ∈ ℕ, n_{k+1} − n_{k} < K.

Définition 3.10 (ensemble libre)

Soit A un sous-flot de Ω = Λ^{ℕ}. Etant donné Q un sous-ensemble infini de ℕ, on dit que A est libre sur Q si ∀r ∈ ℕ, ∀(q_{1}, ⋯, q_{r}) ∈ Q^{r}, ∀(λ_{1}, ⋯, λ_{r}) ∈ Λ^{r}, ∃(a_{n})_{n∈ℕ} ∈ A, ∀ 1 ≤ i ≤ r, a_{q_{i}} = λ_{i}.

Théorème 3.11 Si A est un produit de flots minimaux (ou semi-simples) de type fini, alors A ne peut pas être libre sur un ensemble relativement dense.

Nous ne donnons pas la preuve de ce résultat, qui fait appel à des notions que nous ne souhaitons pas introduire ici.

Remarque : Si B est déterministe, on a également que A ne peut pas être libre sur un ensemble relativement dense.

4 Une certaine approximation diophantienne

4.1 Ensembles minimaux du tore

Nous avons traité jusqu’à présent des semi-groupes indexés par ℕ ou ℤ, mais la définition de flot peut être généralisée avec des semi-groupes abéliens de transformations Σ, de même que les notions de disjonction, F-flots, minimalité (ainsi, M sera un ensemble minimal s’il est fermé, invariant par Σ et ne contient pas de sous-ensemble fermé propre invariant par Σ).

Notons K^{r} = ℝ^{r}/ℤ^{r} le tore de dimension r considéré comme un groupe additif. Les endomorphismes de K^{r} correspondent aux matrices r × r à coefficients entiers et forment un semi-groupe E(r), où l’identité sera notée 1.

Le théorème 3.3 nous dit que, sous certaines conditions (en fait, si (K^{r}, σ) est un F-flot), si M est un ensemble minimal pour (K^{r}, σ) et B est un ensemble fermé σ-invariant, M + B = K^{r} implique que B = K^{r}. Nous allons généraliser ce résultat à des flots du type (K^{r}, Σ) où Σ est un semi-groupe de E(r) de la façon suivante :

Proposition 4.1 Soit Σ un semi-groupe commutatif d’endomorphismes de K^{r} tel que :

i il existe σ ∈ Σ n’ayant aucune valeur propre racine de l’unité;

ii il existe q premier tel que ∀σ ∈ Σ, q et det σ sont premiers entre eux;

Alors, si M est minimal pour Σ et B est un ensemble fermé Σ-invariant, M + B = K^{r} implique que B = K^{r}.

L’idée est de travailler modulo q^{n}, en considérant Σ_{n} = {σ ∈ Σ|σ ≡ 1 mod q^{n}} et M_{n} ⊂ M un ensemble minimal pour Σ_{n}. On sait par ailleurs que (K^{r}, σ) est ergodique pour la mesure de Lebesgue μ si σ n’a pas de valeur propre racine de l’unité (voir par exemple [HAL2]) , ce qui permet de montrer que M_{n} + B = K^{r}, puis finalement que B = K^{r}.

La démonstration détaillée est renvoyée en annexe (5.3).

4.2 Semi-groupes non lacunaires

Nous développons dans ce paragraphe le cas du tore K = K^{1} pour en déduire un résultat d’approximation diophantienne.

Dans le cas du cercle, les endomorphismes de E(1) sont les multiplications par des entiers.Un semi-groupe d’endomorphismes Σ peut donc être considéré comme un semi-groupe multiplicatif de ℤ.

Définition 4.2 (semi-groupes lacunaires ou non lacunaires)

Soit Σ un semi-groupe multiplicatif d’entiers. Σ est dit lacunaire s’il existe un entier a tel que les éléments de Σ soient tous une puissance de a. Sinon, Σ est dit non lacunaire.

Exemple : {17^{n} |n ≥ 14} est lacunaire, et {2^{n}3^{m} |n, m ≥ 1} est non lacunaire.

Lemme 4.3 Soit Σ un semi-groupe non lacunaire. On note Σ^{+} = Σ ∩ ℕ = {s_{n}|n ∈ ℕ} avec

s_{n} < s_{n+1}. Alors lim_{n→∞} \frac{s_{n+1}}{s_{n}} = 1.

La preuve repose sur le fait qu’un semi-groupe additif dans ℝ (ici, log Σ) est soit contenu dans un sous-groupe discret, soit de plus en plus dense vers l’infini. La démonstration peut être trouvée en annexe (5.3).

Lemme 4.4 Soit Σ un semi-groupe non lacunaire et A un ensemble fermé Σ-invariant dans K tel que 0 ne soit pas un point isolé dans A. Alors A = K.

preuve :

Fixons ε > 0. Soit (a_{n})_{n∈ℕ} une suite dans A avec lim a_{n} = 0. Par le lemme 4.3, ∃n_{0}, ∀n ≥ n_{0}, \frac{s_{n+1}}{s_{n}} < 1+ε c’est à dire s_{n+1} −s_{n} < εs_{n}. Choisissons alors p tel que s_{n_{0}}a_{p} < ε. (s_{n}a_{p})_{n} est une suite qui croît vers l’infini. Soit N = max{n |s_{n}a_{p} < 1}. On a alors:

– ∀n_{0} ≤ n ≤ N, s_{n+1}a_{p} − s_{n}a_{p} < εs_{n}a_{p} < ε
– s_{n_{0}}a_{p} − 0 < ε
– 1 − s_{N}a_{p} ≤ s_{N+1}a_{p} − s_{N}a_{p} < ε

donc (s_{n}a_{p})_{n_{0}≤n≤N} est une suite d’éléments de A qui est ε-dense dans [0, 1]. ε étant arbitraire, A est dense dans K, donc A = K. □

Proposition 4.5 Si Σ est un semi-groupe non lacunaire, les ensembles minimaux de K sont nécessairement finis et composés de rationnels.

preuve : 1er cas : il existe un entier premier q qui soit premier avec tout σ dans Σ.

Soit M un ensemble minimal, que l’on suppose infini. M − M est un ensemble Σ-invariant et 0 y est un point non isolé. En effet, M est infini donc possède un point d’accumulation m avec m ∈ M car M est fermé; alors 0 ∈ M − m ⊂ M − M est un point non isolé. Par le lemme 4.4, M − M = K. Or la proposition 4.1 s’applique (∃σ ∈ Σ, σ ≠ 1, donc σ n’a pas de valeur propre racine de l’unité), donc −M = K, ce qui est impossible (K n’est pas minimal car l’ensemble \{\frac{k}{N} |k ∈ ℕ\} est Σ-invariant). Par conséquent, M est fini.

Soit maintenant m ∈ M et σ ≠ 1 un élément de Σ. {σ^{k}m} est fini car contenu dans M donc ∃k ≠ l, σ^{k}m ≡ σ^{l}m mod 1, soit m = \frac{d}{σ^{k}−σ^{l}} ∈ ℚ. Finalement, M ∈ ℚ.

Cas général : Σ est non lacunaire, ce qui implique qu’on peut trouver a, b dans Σ qui ne soient pas puissances d’un même entier. On note Σ′ le semi-groupe engendré par a et b. On peut trouver q premier ne divisant ni a ni b, donc q est premier avec tout élément de Σ′. M est invariant par Σ′ donc il existe M′ ⊂ M avec M′ minimal pour Σ′. En appliquant le 1er cas à M′ et Σ′, on trouve que M′ ⊂ ℚ. Mais si \frac{k}{N} ∈ M′ ⊂ M, alors par minimalité M ⊂ \{\frac{n}{N} |n ∈ ℕ\} qui est Σ-invariant. Donc M est fini et constitué de rationnels. □

Chacun sait que si α est irrationnel, ℤα est dense dans K. Ce résultat peut être élargi comme suit :

Théorème 4.6 Si Σ est un semi-groupe non lacunaire d’entiers et si α est irrationnel, alors Σα est dense dans K.

preuve :

Soit A la fermeture de Σα dans K. A étant invariant par Σ, il contient un ensemble minimal donc un rationnel \frac{p}{q}. Comme Σα n’est constitué que d’irrationnels, \frac{p}{q} est un point non isolé dans A, et 0(≡ p mod 1) est un point non isolé dans qA. qA étant fermé et Σ-invariant, la proposition 4.1 nous donne que qA = K. Soit x ∈ K. qx ∈ K donc il existe a ∈ A tel que qx ≡ qa mod 1, donc x ≡ a mod \frac{1}{q}. On en déduit que

K = ⋃_{k=0}^{q−1} (A + \frac{k}{q} ). Les A + \frac{k}{q} sont fermés, donc l’un d’entre eux a un intérieur non vide par Baire et par

conséquent il en est de même pour A. Soit ]a, b[⊂ A, a ≠ b. On peut trouver σ ∈ Σ assez grand pour que σ(b − a) > 1, de sorte que σ]a, b[= K. A étant invariant par σ, on en conclut que A = K. □

Il est à noter que la condition de non lacunarite est nécessaire : si Σ = {a^{n} |n ∈ ℕ}, on pose x = ∑_{k=1}^{∞} a^{−k^{2}}. La fermeture de Σx ne contient, en plus des a^{n}x, que les points 0, a^{−1}, a^{−2}, ... donc Σx n’est pas dense dans K.

Dans le cas de ℤ, ℤα est non seulement dense dans K, mais est également équidistribué. Soulignons ici que cela n’est pas toujours vrai avec un semi-groupe non lacunaire.

On déduit immédiatement du théorème le résultat d’approximation diophantienne suivant :

Corollaire 4.7 Si Σ est un semi-groupe non lacunaire, alors ∀α ∉ ℚ, ∀ε > 0 ∃n ∈ ℕ, ∃s ∈ Σ, |α − \frac{n}{s} | < \frac{ε}{s}.

5 Annexe

5.1 Disjonction métrique

Nous reprenons ici les résultats de la partie 1.1 et nous en donnons une démonstration.

Voici tout d’abord une proposition qui est utile pour simplifier certaines démonstrations.

Proposition 5.1 Tout processus P_{X} peut être représenté par un quadruplet (X, F, μ, T) où X est un espace métrique compact, F est la σ-algèbre des boréliens (ou sa complétion pour μ), μ une mesure borélienne régulière et T une transformation continue.

De même, si P_{Y} est un facteur de P_{X}, X et Y peuvent être choisis compacts métriques et φ : X → Y étant en fait une application continue surjective.

preuve :

Soit P_{X}, P_{Y} deux processus et α : P_{X} → P_{Y} un homomorphisme. Nous avons le droit de supposer P_{X} = (Ω, F, μ, T) et P_{Y} = (Ω, F′, μ, T) avec F′ une sous σ-algèbre T -invariante de F comme nous l’avons remarqué dans la partie 1.1, et supp(μ) = Ω.

Par hypothèse, (Ω, F, μ) est séparable, ce qui implique que L^{2}(Ω, F, μ) est séparable (si E est un sousensemble “dense” dans F, les combinaisons linéaires à coefficients rationnels des fonctions caractéristiques d’éléments de E sont denses dans L^{2}(Ω, F, μ)). Comme il en est de même pour (Ω, F′, μ), on peut trouver un ensemble dénombrable de fonctions bornées denses dans L^{2}(Ω, F′, μ) puis l’étendre en un ensemble dénombrable de fonctions bornées denses dans L^{2}(Ω, F, μ); on peut également les prendre invariants par T (en ajoutant leurs itérés par T ). On note (ψ_{i})_{i∈I} et (ψ_{i})_{i∈ℕ} ces ensembles (I ⊂ ℕ).

Soit A la fermeture dans L^{∞}(Ω, F, μ) de l’algèbre engendrée par (ψ_{i})_{i∈ℕ} et leurs conjugués, et A′ la sousalgèbre correspondant aux fonctions F′-mesurables de A. Comme A et A′ sont des C^{∗}-algèbres commutatives, on peut, par la transformée de Gelfand, les représenter ainsi : A ≅ C(X), A′ ≅ C(Y) où X, Y sont des espaces compacts (X est l’ensemble des caractères de A). On munit X d’une métrique :

si χ_{1}, χ_{2} sont 2 caractères de A, d_{X}(χ_{1}, χ_{2}) = ∑_{n≥0} \frac{|χ_{1}(ψ_{n}) − χ_{2}(ψ_{n})|}{2^{n}∥ψ_{n}∥_{0}}.

De même, la métrique sur Y est donnée par : d_{Y} (χ_{1}, χ_{2}) = ∑_{n∈I} \frac{|χ_{1}(ψ_{n}) − χ_{2}(ψ_{n})|}{2^{n}∥ψ_{n}∥_{0}}.

Munissons X et Y d’une mesure : La mesure μ sur Ω définit une forme linéaire continue positive sur L^{∞}(Ω, F, μ) donc sur A ≅ C(X). A son tour, par le théorème de représentation de Riesz, cette forme linéaire définit une mesure de probabilité borélienne régulière μ_{X} sur X. De plus, comme supp(μ) = Ω, on a supp(μ_{X}) = X. On munit de même Y de la mesure μ_{Y}.

Définissons T : X → X: Soit χ ∈ X. On pose T χ(f) = χ(f ∘ T) pour f ∈ A. On a bien T χ ∈ X. Montrons que T est continue. On fixe n_{0} ∈ ℕ, χ_{0} ∈ X. ψ_{n} ∘ T peut s’écrire ψ_{m} (invariance de (ψ_{n})_{n} par T ). On choisit alors N tel que ∀n ≤ n_{0}, m(n) ≤ N. Alors, si ∀n ≤ N, |χ_{1}(ψ_{n}) − χ_{0}(ψ_{n})| ≤ ε, on a ∀n ≤ n_{0}, |T χ_{1}(ψ_{n}) − T χ_{0}(ψ_{n})| ≤ ε. Ce qui montre la continuité de T.

De plus, T préserve la mesure : si f ∈ A, on note f^{X} la fonction qui lui correspond dans C(X). Alors :

∫_{X} f^{X} ∘ T dμ_{X} = ∫_{Ω} f ∘ T dμ = ∫_{Ω} fdμ = ∫_{X} f^{X}dμ_{X}

.

On procède de même pour Y.

Soit α : \begin{matrix}X & ⟶ & Y \\ χ & ⟼ & χ/_{A′} \end{matrix} Montrons que α est continue, surjective et préserve la mesure.

On fixe n_{0} ∈ ℕ, χ_{0} ∈ X. Si χ_{1} ∈ X est tel que ∀n ≤ n_{0}, |χ_{1}(ψ_{n}) − χ_{0}(ψ_{n})| < ε, alors ∀n ≤ n_{0}, n ∈ I, |χ_{1}(ψ_{n}) − χ_{0}(ψ_{n})| < ε, donc α est continue.

Soit maintenant f ∈ A′. f^{Y} ∘ α(χ) = χ(f) = f^{X}(χ) d’où
∫_{X} f^{Y} ∘ αdμ_{Y} = ∫_{X} f^{X}dμ_{X} = ∫_{Ω} fdμ = ∫_{Y} f^{Y} dμ_{Y}

donc μ_{Y} = α(μ_{X}). Comme supp(μ_{X}) = X et supp(μ_{Y}) = Y, on en déduit que α est surjective.

On a pour l’instant que (Y, μ_{Y} , T) est un facteur de (X, μ_{X}, T) et que l’homomorphisme α est continu surjectif. Il ne reste plus qu’à montrer que (Ω, F, μ, T) est équivalent à (X, μ_{X}, T) (et de façon similaire (Ω, F′, μ, T) sera équivalent à (Y, μ_{Y} , T)).

La correspondance A ≅^{φ} C(X) est isométrique pour la norme L^{2} car ∫_{Ω} |f|^{2}dμ = ∫_{X} |f^{X}|^{2}dμ_{X}. A et

C(X) étant denses respectivement dans L^{2}(Ω, F, μ) et L^{2}(X, μ_{X}), φ s’étend en une isométrie L^{2}(Ω, F, μ) → L^{2}(X, μ_{X}). Si B ∈ F, 𝟙_{B} ∈ L^{2}(Ω, F, μ) et φ(𝟙_{B}) ne prend que les valeurs 0 et 1 donc c’est une fonction caractéristique 𝟙_{φ̃(B)}. φ̃ introduit donc une correspondance entre F et la σ-algèbre des boréliens de X, qui fait correspondre également les mesures et les applications T. Finalement, (Ω, F, μ, T) et (X, μ_{X}, T) désignent le même processus. □

Lemme 1.4 Etant donnés des processus P_{X}_{1}, P_{X}_{2}, P_{Y} et des homomorphismes P_{X}_{1} ⟶^{α_{1}} P_{Y} et P_{X}_{2} ⟶^{α_{2}} P_{Y}, il existe un processus P_{Z} et des homomorphismes P_{Z} ⟶^{β_{1}} P_{X}_{1}, P_{Z} ⟶^{β_{2}} P_{X}_{2} tels que α_{1}β_{1} = α_{2}β_{2} (égalité presque partout).

[figure: P_{Z}; β_{1}; ^{P_{X}^{1}}; α_{1}; β_{2}; ^{P_{X}^{2}}; α_{2}; P_{Y}]

preuve :

Notons P_{i} = (X_{i}, F_{i}, μ_{i}, T) pour i = 1, 2 et P_{Y} = (Y, G, ν, T). Grâce à la proposition 5.1, nous avons le droit de considérer que X_{1}, X_{2}, Y sont des espaces compacts métriques et que les applications α_{1}, α_{2} sont continues surjectives.

Définissons Z = {(x_{1}, x_{2}) ∈ X_{1} × X_{2}|α_{1}(x_{1}) = α_{2}(x_{2})}. Z est un sous-espace fermé de X_{1} × X_{2}, donc est compact. L’application continue T, donnée sur Z par T (x_{1}, x_{2}) = (T x_{1}, T x_{2}) est bien définie car si α_{1}(x_{1}) = α_{2}(x_{2}), alors α_{1}(T x_{1}) = T α_{1}(x_{1}) = T α_{2}(x_{2}) = α_{2}(T x_{2}). Définissons maintenant β_{i} : Z → X_{i} par β_{i}(x_{1}, x_{2}) = x_{i}. Il est clair que α_{1}β_{1} = α_{2}β2 (de plus, β_{i} est surjective car si x_{1} ∈ X_{1}, il existe x_{2} ∈ X_{2} tel que α_{1}(x_{1}) = α_{2}(x_{2}) par surjectivité de α_{2}, donc (x_{1}, x_{2}) ∈ Z). Si nous arrivons à trouver une mesure μ sur Z, T -invariante et telle que β_{i}(μ) = μ_{i}, alors P_{Z} = (Z, μ, T) sera un processus satisfaisant les conditions du lemme.

Une telle mesure μ définit une forme linéaire L sur C(Z) satisfaisant :

i L(1) = 1 (μ(Z) = 1)

ii L(f) > 0 si f > 0 (f > 0 sur Z ⇒ f ≥ a > 0 car Z compact, donc ∫ fdμ ≥ a > 0)

iii L(f ∘ T − f) = 0 (T -invariance de μ)

iv L(f) = 0 si f(x_{1}, x_{2}) = F (x_{i}) et ∫ F (x_{i})dμ_{i} = 0 (β_{i}(μ) = μ_{i})

Réciproquement, si une telle forme linéaire L existe, elle définit par le théorème de représentation de Riesz une mesure de probabilité ayant les propriétés recherchées.

E = {T f − f|f ∈ C(Z)} est un sous-espace vectoriel fermé de C(Z). De même, H_{i} = {f ∈ C(Z)|∃F ∈ C(X_{i}), f(x_{1}, x_{2}) = F (x_{i}), ∫ F dμ_{i} = 0} sont des sous-espaces vectoriels fermés. On veut montrer qu’il existe un hyperplan fermé H(= ker L) contenant E, H_{1}, H_{2} et ne rencontrant pas le cône P = {f ∈ C(Z)|f > 0}: il suffit de montrer que E + H_{1} + H_{2} ne rencontre pas P. Supposons au contraire qu’il existe f ∈ C(Z), F_{1} ∈ H_{1}, F_{2} ∈ H_{2} telles que

∀(x_{1}, x_{2}) ∈ Z, T f(x_{1}, x_{2}) − f(x_{1}, x_{2}) + F_{1}(x_{1}) + F_{2}(x_{2}) ≥ C > 0 (1)

On note F′_{i} = \frac{1}{N} ∑_{k=0}^{N−1} F_{i} ∘ T^{k}. On a toujours ∫ F′_{i}dμ_{i} = 0 et pour N assez grand, on a

∥\frac{1}{N} ∑_{k=0}^{N−1}(f ∘ T^{k+1} − f ∘ T^{k})∥_{0} ≤ \frac{2∥f∥_{0}}{N} ≤ \frac{C}{2}

car f est bornée. Quand on reporte dans (1), ceci donne :

F′_{1}(x_{1}) + F′_{2}(x_{2}) ≥ \frac{C}{2} (2)

Soit y ∈ Y et G_{i}(y) = inf{F′_{i}(x_{i})|α_{i}(x_{i}) = y}. G_{i} est mesurable car semi-continue inférieurement. De plus ∀x_{i} ∈ X_{i}, G_{i}(α_{i}(x_{i})) ≤ F′_{i}(x_{i}), donc ∫ G_{i}dν = ∫ G_{i} ∘ α_{i}dμ_{i} ≤ ∫ F′_{i}dμ_{i} = 0. D’autre part, G_{1}(y) + G_{2}(y) ≥ inf\{F′_{1}(x_{1}) + F′_{2}(x_{2})|α_{1}(x_{1}) = α_{2}(x_{2}) = y\} ≥ \frac{C}{2} par (2), d’où ∫ G_{1} + G_{2}dν ≥ \frac{C}{2} > 0, ce qui mène à une contradiction.

On montre ainsi l’existence d’une forme linéaire continue L valant 0 sur E, H_{1}, H_{2} telle que L(f) > 0 si f > 0. On se ramène à L(1) = 1 en divisant L par L(1) > 0. Ceci conclut la preuve du lemme. □

Proposition 1.5 Si P_{Y} _{1} est un facteur de P_{X}_{1}, P_{Y} _{2} un facteur de P_{X}_{2} et P_{X}_{1}⊥P_{X}_{2}, alors P_{Y} _{1}⊥P_{Y} _{2}.

preuve :

Il suffit de montrer que P_{Y} _{1}⊥P_{X}_{2}, et le même raisonnement donnera le résultat. On se ramène, grâce à la proposition 5.1, à des espaces métriques compacts, des applications T continues et des homomorphismes continus surjectifs.

On notera π_{i} les projections canoniques de X_{1}×X_{2} sur X_{i} et ψ_{1}, ψ_{2} les projections canoniques de Y_{1}×X_{2} sur Y_{1} et X_{2} respectivement.

[figure: Z; W; δ; X_{2}; β_{2}; γ_{2}; X_{1}; Y_{1}; β_{1}; γ_{1}; α_{1}; X_{1} × X_{2}; ϵ; π_{1}; π_{2}; Y_{1} × X_{2}; η; ψ_{1}; ψ_{2}]

Soit P_{Z} un processus avec P_{Z} ⟶^{β_{1}} P_{Y} _{1}, P_{Z} ⟶^{β_{2}} P_{X}_{2}. Si nous appliquons le lemme 1.4 à P_{X}_{1} ⟶^{α_{1}} P_{Y} _{1} et P_{Z} ⟶^{β_{1}} P_{Y} _{1}, nous obtenons un processus P_{W} avec P_{W} ⟶^{δ} P_{Z}, P_{W} ⟶^{γ_{1}} P_{X}_{1} tel que α_{1}γ_{1} = β_{1}δ. Soit γ_{2} = β_{2}δ. Si l’on considère P_{W} ⟶^{γ_{i}} P_{X}_{i}, i = 1, 2, on obtient un homomorphisme ϵ : P_{W} → P_{X}_{1}×P_{X}_{2} avec γ_{i} = π_{i}ϵ grâce à la disjonction de P_{X}_{1} et P_{X}_{2}. Définissons alors η : X_{1} × X_{2} → Y_{1} × X_{2} par η(x_{1}, x_{2}) = (α_{1}(x_{1}), x_{2}). C’est un homomorphisme et on a bien ψ_{1}η(x_{1}, x_{2}) = α_{1}(x_{1}) = α_{1}π_{1}(x_{1}, x_{2}) et ψ_{2}η(x_{1}, x_{2}) = x_{2} = π_{2}(x_{1}, x_{2}), ce qui finit de montrer que le diagramme ci-dessus est commutatif.

Fait: il existe un unique homomorphisme θ : P_{Z} → P_{Y} _{1} × P_{X}_{2} tel que θδ = ηϵ.

L’unicité de θ provient du fait que δ est surjective. Comme une application φ : E → Y_{1} × X_{2} est entièrement déterminée par ψ_{1}φ et ψ_{2}φ, ηϵ est déterminée par ψ_{1}ηϵ = β_{1}δ et ψ_{2}ηϵ = β_{2}δ donc, si δ(w) = δ(w′), alors ηϵ(w) = ηϵ(w′). Ceci permet de construire correctement θ tel que θδ = ηϵ. Il reste à montrer que θ est bien un homomorphisme. θ continue : θ : Z → Y_{1} × X_{2} est continue si et seulement si ψ_{1}θ : Z → Y_{1} et ψ_{2}θ : Z → X_{2} sont continues. Or ψ_{i}θδ = ψ_{i}ηϵ = β_{i}δ par commutativité du diagramme, donc ψ_{i}θ = β_{i} (δ est surjective) avec β_{i} continue, ce qui montre la continuité de θ. θ préserve la mesure : Soit A ⊂ Y_{1} × X_{2} mesurable. μ_{Y_{1}×X_{2}}(A) = μ_{W} ((ηϵ)^{−1}A) = μ_{W} (δ^{−1}θ^{−1}A) = μ_{Z}(θ^{−1}A). θ commute avec T : Soit z ∈ Z. ∃w ∈ W, δ(w) = z. Alors T θ(z) = T θδ(w) = T ηϵ(w) = ηϵT (w) = θδT (w) = θT δ(w) = θT (z).

θ est un homomorphisme P_{Z} → P_{Y} _{1} × P_{X}_{2}, ce qui conclut la preuve. □

Corollaire 1.6 Deux processus disjoints n’ont pas de facteur commun non trivial.

preuve :

On note ν la mesure sur Y. Si P_{X}_{1}⊥P_{X}_{2} et P_{X}_{i} ⟶^{α_{i}} P_{Y} pour i = 1, 2, alors P_{Y} est disjoint de luimême. Ceci implique que P_{Y} est trivial. En effet, considérons id : Y → Y. P_{Y} ⊥P_{Y} implique l’existence d’un homomorphisme f : Y → Y × Y avec f(y) = (y, y), donc la mesure ν × ν est concentrée sur la diagonale de Y × Y. Ceci entraîne que tout ensemble mesurable est de mesure 0 ou 1 (A ∩ (Y − A) = ∅ ⇒ ν ⊗ ν(A × (Y − A)) = 0 = ν(A)ν(Y − A) donc ν(A) = 0 ou 1), donc P_{Y} est équivalent à un processus dont l’espace est un singleton (correspondant à supp(ν)). □

5.2 Ensembles minimaux

Lemme 3.2 Soit G un groupe compact métrique non trivial et T un endomorphisme de G. Si (G, T) est ergodique, un ensemble restreint ne peut pas être une partie génératrice de G.

preuve :

Soit A un ensemble restreint qui est une base de G. Alors ⋃_{n=0}^{∞} A^{n} = G, ce qui implique, par Baire, qu’un

certain A^{n} est d’intérieur non vide. Par ergodicité, on a A^{n} = G. Mais alors, comme A est restreint et que A.A^{n−1} = G, on a A^{n−1} = G, et de même A^{n−2} = G, ⋯, A = G et finalement {e} = G, ce qui prouve que G est trivial. □

Lemme Soit (X, T), (Y, T) deux flots disjoints. On suppose qu’il existe un flot (Z, T) et un homo-

morphisme α tel que (X ×Z, T) ⟶^{α} (Y, T). Alors, pour tout x ∈ X, l’application \begin{matrix}Z & ⟶ & Y \\ z & ⟼ & α(x, z) \end{matrix}

est surjective.

preuve :

Soit W = X × Z. On a deux homomorphismes (W, T) ⟶^{π_{X}^{W}} (X, T), (W, T) ⟶^{α} (Y, T) et comme (X, T)⊥(Y, T), il existe un homomorphisme (W, T) ⟶^{β} (X × Y, T) tel que π_{X}β = π_{X}^{W} et π_{Y} β = α (π_{X} et π_{Y} désignent les projections de X × Y sur X et Y respectivement, et π_{X}^{W} désigne la projection de X × Z sur X). Ainsi, β(x, z) = (x, α(x, z)). Mais β : W → X ×Y est surjective, donc ∀(x, y)∃w ∈ W, β(w) = (x, y). Par ce qui précède, w s’écrit w = (x, z) avec α(x, z) = y, ce qui montre que pour x fixé, l’application

α : \begin{matrix}Z & ⟶ & Y \\ z & ⟼ & α(x, z) \end{matrix} est surjective. □

Théorème 3.3 Si (G, T) est un F-flot, alors tout ensemble minimal pour (G, T) est restreint.

preuve :

Soit M un ensemble minimal pour le F-flot (G, T) et B un ensemble fermé T -invariant tel que M.B = G.

On a un homomorphisme α : \begin{matrix}M × B & ⟶ & G \\ (m, b) & ⟼ & m.b \end{matrix} (α est continue, surjective, et T (m.b) = T (m).T (b) car

T est un endomorphisme de G). Soit m_{0} ∈ M. M est minimal et G est un F-flot donc (M, T)⊥(G, T). Par

le lemme précédent (en prenant X = M, Y = G, Z = B), l’application \begin{matrix}B & ⟶ & G \\ b & ⟼ & m_{0}.b \end{matrix} est surjective, c’est

à dire que m_{0}.B = G, ce qui implique que B = G. Ceci montre que M est restreint. □

Proposition 3.7 Soit A un ensemble T -invariant de Ω et A^{∗} le sous-ensemble de K correspondant. Alors d(A^{∗}) et h(A) existent, et

D(A^{∗}) = d(A^{∗}) = \frac{h(A)}{log a}

Nous allons juste montrer l’existence de ces limites et d(A^{∗}) = \frac{h(A)}{log a}, et nous omettrons le reste de la preuve (qui nous intéresse peu pour la suite), qui peut être trouvé dans [FUR1].

Comme A est T -invariant, on a μ(A, nm) ≤ μ(A, n).μ(A, m). La suite log μ(A, n) étant sous-additive, on sait alors que h(A) = lim \frac{log μ(A,n)}{n} existe.

On fait correspondre les n-uplets d’éléments de Λ avec les entiers inférieurs à a^{n} (par le développement en base a).

On fixe n. Soit ω ∈ A, on note k = ∑_{i=0}^{n−1} ω_{i}a^{i−1}. Alors [\frac{k}{a^{n}} , \frac{k+1}{a^{n}}] contient un point de A^{∗}, donc μ(A, n) ≤

ν(A^{∗}, a^{n}). Par ailleurs, si [\frac{k}{a^{n}} , \frac{k+1}{a^{n}}] rencontre A^{∗}, soit il le rencontre uniquement en des points intérieurs, qui correspondent à un même n-uplet, soit il le rencontre à une extrémité, qui correspond à 1 ou 2 n-uplets de A, et l’intervalle voisin rencontrera également A^{∗}, d’où ν(A^{∗}, a^{n}) ≤ 2μ(A, n). Ainsi, lim \frac{log ν(A^{∗},a^{n})}{n} = lim \frac{log μ(A,n)}{n}, et comme on peut aussi montrer que \frac{ν(A^{∗},N_{2})}{ν(A^{∗},N_{1})} < 3 + \frac{N_{2}}{N_{1}} , cela suffit pour montrer que d(A^{∗}) existe et vaut

\frac{h(A)}{log a}.

Remarque : Comme on a d(A^{∗}) ≥ D(A^{∗}), si h(A) = 0, alors D(A^{∗}) = d(A^{∗}) = h(A) = 0.

Proposition 3.8 Si B est un sous-ensemble de K fermé invariant par τ_{a} et déterministe (c’est à dire de dimension de Hausdorff nulle), alors B est restreint.

preuve :

fait : Soit B, C deux ensembles fermés τ_{a}-invariants de K. Alors d(B + C) ≤ d(B) + d(C).

En effet : soit p = ν(B, 2N), q = ν(C, 2N) et I_{i}, J_{j} des intervalles de la forme [\frac{k}{2N} , \frac{k+1}{2N}] tels que B ⊂ I_{1} ∪ ⋯ ∪ I_{p} et C ⊂ J_{1} ∪ ⋯ ∪ J_{q}. Alors B + C ⊂ ⋃_{i,j} I_{i} + J_{j}. Or I_{i} + J_{j} est un intervalle de la forme

[\frac{k}{N} , \frac{k+1}{N}], donc ν(B + C, N) ≤ ν(B, 2N).ν(C, 2N). Et ainsi

lim_{N→∞} \frac{log ν(B + C, N)}{log N} = lim_{N→∞} \frac{log ν(B + C, N)}{log N + log 2} ≤ lim_{N→∞} \frac{log ν(B, 2N)}{log 2N} + lim_{N→∞} \frac{log ν(C, 2N)}{log 2N}

donc d(B + C) ≤ d(B) + d(C).

Si B est un ensemble déterministe de K, d(B) = D(B) = 0. Soit C un ensemble fermé τ_{a}-invariant tel que B + C = K. On a d(K) = d(B + C) ≤ d(B) + d(C), donc d(C) = 1, et si on note A l’ensemble de Ω correspondant à C (A^{∗} = C), on a h(A) = log a. Supposons A ≠ Ω. Il existe alors pour un certain n_{0} un n_{0}-uplet d’éléments de Λ qui ne soit pas le début d’un élément de A, donc μ(A, n_{0}) ≤ a^{n_{0}} − 1. La suite log μ(A, n) étant sous-additive, on a

lim \frac{log μ(A, n)}{n} = inf \frac{log μ(A, n)}{n} ≤ \frac{log(a^{n_{0}} − 1)}{n_{0}} < log a

ce qui est une contradiction. Donc A = Ω et C = A^{∗} = K. Ce qui montre que B est restreint. □

5.3 Semi-groupes d’endomorphismes de K^{r}

Nous rappelons la proposition 4.1 : Soit Σ un semi-groupe commutatif d’endomorphismes de K^{r} tel que :

i il existe σ ∈ Σ n’ayant aucune valeur propre racine de l’unité;

ii il existe q premier tel que ∀σ ∈ Σ, q et det σ sont premiers entre eux;

Alors, si M est minimal pour Σ et B est un ensemble fermé Σ-invariant, M + B = K^{r} implique que B = K^{r}.

preuve :

Notons Σ_{n} le sous semi-groupe composé des σ ∈ Σ tels que σ ≡ 1 mod q^{n}. On a Σ_{n+1} ⊂ Σ_{n}. Fait : ∀σ ∈ Σ, ∃k, σ^{k} ∈ Σ_{n}.

En effet, si σ ∈ Σ, q et det(σ) sont premiers entre eux donc det(σ) est une unité dans ℤ/q^{n}ℤ et par conséquent σ admet un inverse modulo q^{n}. {σ^{k} mod q^{n}|k ∈ ℤ} est un groupe fini donc il existe k > 0 tel que σ^{k} ≡ 1 mod q^{n}.

On construit par récurrence une suite M_{n} d’ensembles minimaux pour Σ_{n} avec M_{n+1} ⊂ M_{n} et M_{0} = M (ceci est possible car si M_{n} est minimal pour Σ_{n}, alors M_{n} est invariant pour Σ_{n+1} ⊂ Σ_{n} donc on peut

choisir M_{n+1} minimal ⊂ M_{n}). Ainsi, comme les M_{n} sont compacts, M_{∞} = ⋂_{n=1}^{∞} M_{n} ≠ ∅.

Fixons n. Comme Σ mod q^{n} est fini,on peut prendre σ_{1}, ⋯, σ_{N} des représentants de Σ mod q^{n}. Nous

allons montrer que ⋃_{i=1}^{N} σ_{i}M_{n} = M et pour cela montrer que le terme de gauche (qui est fermé et inclu dans

M) est Σ-invariant. Fixons σ ∈ Σ, 1 ≤ i ≤ N. Soit j tel que σσ_{i} ≡ σ_{j} mod q^{n} et k tel que σ_{j}^{k} ∈ Σ_{n}. Alors σσ_{i}σ_{j}^{k} ∈ σσ_{i}Σ_{n}; mais σσ_{i}σ_{j}^{k−1} ≡ σ_{j}^{k} ≡ 1 mod q^{n} donc σσ_{i}σ_{j}^{k} ∈ σ_{j}Σ_{n}. Ceci entraîne que σσ_{i}M_{n} ∩ σ_{j}M_{n} ≠ ∅ (si x ∈ M_{n}, σσ_{i}σ_{j}^{k}x ∈ σ_{j}Σ_{n}M_{n} ⊂ σ_{j}M_{n}, et de même σσ_{i}σ_{j}^{k}x ∈ σσ_{i}M_{n}). σ_{j}M_{n} et σσ_{i}M_{n} étant minimaux (on

se sert de la commutativité de Σ), les deux ensembles sont égaux. On en conclut que ⋃_{i=1}^{N} σ_{i}M_{n} est Σ-invariant

et donc égal à M.

Considérons maintenant K_{n} = M_{n} + B. Par ce qui précède, ⋃_{i=1}^{N} σ_{i}K_{n} = M + B = K^{r} (car σ_{i}B = B).

K_{n} étant fermé, le théorème de Baire affirme que l’un des σ_{i}K_{n} est d’intérieur non vide, donc K_{n} lui-même est d’intérieur non vide, ce qui entraîne que μ(K) ≠ 0 (μ désignant la mesure de Lebesgue sur K^{r}). Par hypothèse, il existe σ dans Σ n’ayant pas de valeur propre racine de l’unité, donc il en est de même pour toutes ses puissances, et en particulier pour un certain k tel que σ^{k} ∈ Σ_{n}. Ainsi, (K^{r}, μ, σ^{k}) est ergodique, K_{n} est invariant par σ^{k} et de mesure non nulle, donc μ(K_{n}) = 1 ou encore K_{n} = K^{r} (car K_{n} est fermé). Nous avons donc montré que :

M_{n} + B = K^{r} (1)

Fixons x ∈ M_{∞} et considérons un point de K^{r} de la forme y = (a_{1}q^{−n}, ⋯, a_{r}q^{−n}) où a_{i} ∈ ℕ. Par (1), on peut écrire y = m + b, m ∈ M_{n}, b ∈ B. Par minimalité de M_{n} pour Σ_{n}, l’ensemble Σ_{n}.m est dense dans M_{n}, donc en particulier il existe une suite (σ_{i})_{i≥0} dans Σ_{n} tel que x = lim σ_{i}.m et par compacité, quitte à prendre une sous-suite, on peut s’arranger pour que lim σ_{i}.b existe (on la notera b′ et on a b′ ∈ B). Comme σ_{i} ≡ 1 mod q^{n} et étant donnée la forme de y, on a σ_{i}.y = y. En appliquant σ_{i} de chaque côté de l’égalité y = m + b et en passant à la limite, on obtient que y = x + b′ ∈ x + B. Or l’ensemble des points de la même forme que y est dense dans K^{r}, ce qui montre que K^{r} = x + B donc B = K^{r}.

Ceci conclut la preuve. □

Lemme 4.3 Soit Σ un semi-groupe non lacunaire. On note Σ^{+} = Σ ∩ ℕ = {s_{n}|n ∈ ℕ} avec

s_{n} < s_{n+1}. Alors lim_{n→∞} \frac{s_{n+1}}{s_{n}} = 1.

preuve :

On écrit Σ^{+} = {s_{n}|n ∈ ℕ} avec s_{n} < s_{n+1}. Soit a_{n} = log s_{n} et S = {a_{n}|n ∈ ℕ}. S est un semi-groupe additif de ℝ. S − S est alors un groupe, donc S − S est soit discret (S − S ⊂ ℤu) soit dense dans ℝ. Si S − S ⊂ ℤu, alors S ⊂ ℤu + s′ et pour nu + s′ ∈ S, 2(nu + s′) = mu + s′, donc s′ ∈ ℤu et S ⊂ ℤu, ce qui implique que Σ est lacunaire.

On suppose donc S − S dense. Soit S_{n} = S − n(a_{1} + ⋯ + a_{n}). On peut voir que S_{n} ⊂ S_{n+1} et

S − S = ⋃_{n=1}^{∞} S_{n}. Fixons maintenant ε > 0 et montrons, par l’absurde, qu’il existe M > 0 tel que S est

ε-dense sur [M, +∞[.

On suppose que pour tout M > 0, il existe un intervalle dans [M, +∞[ de longueur supérieure à ε qui soit “oublié” par S. Les S_{n}, qui sont des translatés vers la gauche de S, ont donc tous la même propriété. Or un intervalle oublié par S_{n_{0}} l’est aussi par tous les S_{n} pour n ≤ n_{0}. On peut donc trouver un intervalle de longueur supérieure à ε ne rencontrant aucun des S_{n}, donc pas S − S non plus, ce qui est impossible par densité.

Comme les a_{n} sont ordonnés, ce qui précède prouve que log s_{n+1} −log s_{n} → 0, c’est à dire lim_{n→∞} \frac{s_{n+1}}{s_{n}} = 1,

ce qui finit la preuve de ce lemme. □

Références

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